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(共75张PPT)
第四节
空间直线、平面的平行
明确目标
1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面平行的有关性质与判定定理.
2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与__________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) 因为______，a α，l α，所以l∥α
此平面内
l∥a
续表
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面_____，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行 线线平行”) 因为l∥α，l β，_________，所以l∥b
相交
α∩β=b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条__________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) 因为a∥β，b∥β，________，a α，b α，所以α∥β
相交直线
a∩b=P
续表
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面_____，那么两条_____平行(简记为“面面平行 线线平行”) 因为α∥β，α∩γ=a，_________，所以a∥b
相交
交线
β∩γ=b
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(　　)
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(　　)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　　)
×
×
×
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. (　　)
(5)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(　　)
(6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.(　　)
√
√
√
2.(人A必修②P142T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是 (　　)
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D.存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
解析：若α∩β=l，a∥l，a α，a β，则a∥α，a∥β，排除A;若α∩β=l，a α，a∥l，则a∥β，排除B;若α∩β=l，a α，a∥l，b β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.
√
3.(人A必修②P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_____________.
解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE=EF，平面EFGH∩平面DCGH=HG，所以EF∥HG.同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形.
平行四边形
课堂·题点精研
02
考法(一)　直线与平面平行的判定
[例1]　如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ，求证：PQ∥平面BCE.
题点一　直线与平面平行的判定与性质
方法引入：法一：通过作平行四边形，在平面BCE内寻找与PQ平行的直线，再利用线面平行的判定定理给出证明.
法二：通过对应线段成比例，在平面BCE内寻找与PQ平行的直线，再利用线面平行的判定定理给出证明.
法三：通过寻找过PQ且与平面BCE平行的一个平面，利用平面与平面平行的性质证明.
证明： 法一　如图所示，作PM∥AB 交BE 于点M，作QN∥AB 交BC 于点N，连接MN.
因为正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB，所以AE=BD.又AP=DQ，所以PE=QB.又PM∥AB∥QN，
所以===，所以=.又AB=DC，
所以PM=QN，所以四边形PMNQ 为平行四边形，
(线面平行构造平行四边形法)
所以PQ∥MN.又MN 平面BCE，PQ 平面BCE，所以PQ∥平面BCE.
法二　如图所示，连接AQ 并延长交BC 于点M，连接EM，有=，又因为正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB，所以AE=BD.又AP=DQ，所以PE=QB，所以=，从而有=，所以PQ∥EM.又EM 平面BCE，PQ 平面BCE，所以PQ∥平面BCE.
法三　如图，在平面ABEF 内，过点P 作PM∥BE 交AB 于点M，连接QM，则PM∥平面BCE.因为PM∥BE，所以=.又AE=BD，AP=DQ，所以PE=BQ，所以=，所以=，
所以MQ∥AD.又AD∥BC，所以MQ∥BC.
又BC 平面BCE，MQ 平面BCE，
所以MQ∥平面BCE.又PM∩MQ=M，
PM，MQ 平面PMQ，
所以平面PMQ∥平面BCE.又PQ 平面PMQ，所以PQ∥平面BCE.
证明或判断直线与平面平行的常用方法
(1)利用定义，证明直线a与平面α没有公共点，一般结合反证法证明;
(2)利用线面平行的判定定理，即线线平行 线面平行.辅助线的作法为平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段;
(3)利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行.
思维建模
考法(二)　利用线面平行的性质证线线平行
[例2]　正四棱柱OABC-O1A1B1C1中，点P，Q，R分别在AA1，BB1，CC1上，且O，P，Q，R四点共面.若OP=OR，记平面OPQR与底面的交线为l，证明：AC∥l.
证明：连接AC，PR，由正四棱柱OABC-O1A1B1C1，可得AA1∥OO1∥CC1，AO=OC，∠PAO=∠RCO=90°.又因为OP=OR，所以由勾股定理可得AP=CR.又AA1∥CC1，所以RC∥AP，所以四边形APRC是平行四边形，所以PR∥AC.
又AC 平面OABC，PR 平面OABC，
所以PR∥平面OABC.又PR 平面OPQR，
平面OPQR∩平面OABC=l，所以PR∥l，
所以AC∥l.
线面平行性质定理的应用
证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行，在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.
判断线段比例或点所在位置或是求线段长度，通过线面平行结合题意构造线线平行，从而找到相似比.
思维建模
1.如图，四边形ABCD为长方形，PD=AB=2，AD=4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.求证：
(1)DF∥平面PBE;
证明：取PB的中点G，连接FG，EG，
因为点F为PC的中点，
所以FG∥BC，FG=BC.
即时训练
因为四边形ABCD为长方形，
所以BC∥AD，且BC=AD.
所以DE∥FG，DE=FG，
所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF∥GE.因为DF 平面PBE，
GE 平面PBE，所以DF∥平面PBE.
(2)DF∥l.
证明：由(1)知DF∥平面PBE，
又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l，
所以DF∥l.
[例3]　如图，已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC= (　　)
A.2∶3 B.2∶5
C.4∶9 D.4∶25
√
题点二　平面与平面平行的判定与性质
解析：由题意，知平面α∥平面ABC，所以AB∥平面α.又平面α∩平面PAB=A'B'，所以A'B'∥AB，同理可得AC∥A'C'，BC∥B'C'，所以∠ABC=∠A'B'C'，∠BCA=∠B'C'A'，所以△ABC∽△A'B'C'.
因为PA'∶AA'=2∶3，所以PA'∶PA=2∶5，所以A'B'∶AB=2∶5，所以===.故选D.
[变式拓展]　若将本例条件“PA'∶AA'=2∶3”改成“=”，则=_____.
解析：由例3的分析可得，△ABC∽△A'B'C'，
所以==，所以=，
所以==，所以=.
[例4]　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).
(1)求证：BC∥GH;
证明：∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，
平面ABC∥平面A1B1C1，
又平面BCHG∩平面ABC=BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1=HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1 AB，∴A1G EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF=E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β).
(3)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ).
思维建模
2.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
(1)求证：平面A1BD∥平面CD1B1;
证明：由题设知BB1∥DD1且BB1=DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
即时训练
因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B=B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)若平面ABCD∩平面CD1B1=l，求证：B1D1∥l.
证明：由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面CD1B1=l，
平面ABCD∩平面A1BD=BD，所以l∥BD，
又B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
[例5]　如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，
D，D1分别为AC，A1C1上的点.
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1
解：当=1时，BC1∥平面AB1D1.
如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
题点三　平行关系的综合应用
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.
又OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当=1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.
解：由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1.
因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.
∴==.
又=1，∴=1，即=1.
利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置.对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.
思维建模
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点.
(1)当点P在棱DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论;
即时训练
解：当点P在棱DD1上运动时，都有MN∥平面A1C1P.证明如下：
连接AC，在正方形ABCD中，MN为△ABC的中位线，可得MN∥AC，
由正方体的截面性质可得四边形A1ACC1为矩形，则AC∥A1C1，可得MN∥A1C1，
又MN 平面A1C1P，A1C1 平面A1C1P，
则MN∥平面A1C1P.
(2)若P是DD1的中点，Q是BB1的四等分点，且B1Q=3QB，求证：平面MNQ∥平面A1C1P.
解：证明：取A1A的中点F，连接PF，FB1，
取B1B的中点E，连接AE，
由FP∥A1D1，FP=A1D1，A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1，
可得FP∥B1C1，FP=B1C1，
即四边形FPC1B1为平行四边形，可得FB1∥PC1.
由E为B1B的中点，且B1Q=3QB，
可得Q为BE的中点，且MQ∥AE，
由四边形AEB1F为平行四边形，
可得AE∥FB1，即有MQ∥PC1.
由E为B1B的中点，且B1Q=3QB，
可得Q为BE的中点，且MQ∥AE，
由四边形AEB1F为平行四边形，可得AE∥FB1，即有MQ∥PC1.
又MQ 平面A1C1P，PC1 平面A1C1P，则MQ∥平面A1C1P，
又MN∥平面A1C1P，MN∩MQ=M，MN，MQ 平面MNQ，所以平面MNQ∥平面A1C1P.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2024·淄博二模)已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线.若α∩β=l，α∩γ=a，β∩γ=b，l∥γ，则下列说法正确的是(　　)
A.a与l相交 B.b与l相交
C.a∥b D.a与β相交
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解析：对于A、B，l∥γ，l 平面α，α∩γ=a，则l∥a，同理可得l∥b，则A、B错误;对于C，由A、B知道a∥b，则C正确;对于D，由A知道l∥a，a 平面β，l 平面β，则a∥β，故D错误.
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2.(2025·恩施模拟)“平面α 与平面β 平行”是“平面α 内的任何一条直线都与平面β 平行”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
13
解析：如图1，平面α 与平面β 平行，在平面α 内任取一条直线a，作平面γ，使得直线a γ，即γ∩α=a 且γ∩β=b，由面面平行的性质可知a∥b，因为a β，b β，故a∥β，充分性成立.如图2，平面α 内的任何一条直线都与平面β 平行，不妨取两条相交直线a，b均平行于β，则平面α 与平面β 平行，必要性成立.故选C.
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3.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，从A，B，C，A1，B1，C1中取3个点确定平面α，若平面α∩平面A1B1C1=m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是 (　　)
A.A1，B，C
B.A1，B，C1
C.A，B，C1
D.A，B1，C1
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解析：由于几何体A1B1C1-ABC是三棱台，则AB∥A1B1.又AB 平面A1B1C1，A1B1 平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，当AB 平面α，平面α∩平面A1B1C1=m时，由直线与平面平行的性质定理可知m∥AB，选项C符合要求.
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4.(2024·全国甲卷)设α，β为两个平面，m，n为两条直线，且α∩β=m，下述四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β;②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β;
③若n∥α且n∥β，则m∥n;④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n.
其中所有真命题的编号是(　　)
A.①③ B.②④
C.①②③ D.①③④
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解析：若α∩β=m，则m α，m β，对于①，若m∥n，则n∥α或n∥β，①正确;对于②，若m⊥n，则可能n α或n∥α或n与α相交，②错误;对于③，若n∥α且n∥β，则n∥m，③正确;对于④，n与m所成的角可以为内的任意角，④错误.故选A.
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5.过四棱锥P-ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有 (　　)
A.4条 B.5条
C.6条 D.7条
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解析：如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为相应棱的中点，则NE∥PB，且NE 平面PBD，PB 平面PBD，所以NE∥平面PBD.同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行，由图可知，其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内，所以与平面PBD平行的直线有6条.故选C.
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6.在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BB1上，且BB1=4BD，点M为A1C1的中点，点N在棱BB1上，若MN∥平面ADC1，则=(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
快审准解：根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.
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解析：依题意，作出图形如图所示，设P为AA1的中点，因为M为A1C1的中点，所以MP∥AC1.又MP 平面ADC1，AC1 平面ADC1，所以MP∥平面ADC1，
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连接PN.又因为MN∥平面ADC1，MN∩MP=M，MN，MP 平面MNP，所以平面MNP∥平面ADC1.又平面MNP∩平面ABB1A1=PN，平面ADC1∩平面ABB1A1=AD，所以PN∥AD.又AA1∥BB1，所以四边形ADNP是平行四边形，所以DN=AP=BB1，所以B1N+BD=B1B.又BB1=4BD，所以B1N=BD，所以BN=3B1N，所以=3.故选B.
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二、多选题
7.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则(　　)
A.OM∥PA
B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA
D.OM∥平面PBA
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√
解析：由题意知，OM是△BPD 的中位线，所以OM∥PD，又PD∩PA=P，故A不正确;因为PD 平面PCD，OM 平面PCD，所以OM∥平面PCD，故B正确;同理，可得OM∥平面PDA，故C正确;OM与平面PBA 相交于点M，故D不正确.
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8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，则 (　　)
A.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
B.平面PAD和平面PBC的交线与底面ABCD平行
C.平面PAB和平面PCD的交线与底面ABCD平行
D.平面PAD内任意一条直线都不与BC平行　
√
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√
解析：设平面PBC∩平面PAD=l，在平面PBC内存在无数条直线与l平行，且不在平面PAD内，则在平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行，故A正确;若l∥平面ABCD，l 平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，则l∥BC，同理，l∥AD，则BC∥AD，这与四边形ABCD为梯形矛盾，故B错误;设平面PAB∩平面PCD=m，∵AB∥CD，平面PAB∩平面ABCD=AB，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴AB∥m，又AB 平面ABCD，m 平面ABCD，∴m∥平面ABCD，故C正确;假设平面PAD内存在一条直线a与BC平行，则BC∥平面PAD，又BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，则BC∥AD，不符合题意，∴平面PAD内任意一条直线都不与BC平行，故D正确.
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9.如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为CD1和CB的中点，则下列结论正确的是 (　　)
A.直线AC与BD1为异面直线
B.正方体ABCD-A1B1C1D1过点D1，M，N的截面为三角形
C.直线MN∥平面BB1D1D
D.平面A1C1B∥平面D1AC　
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快审准解：根据A，B，C，D1四点不共面可判断A;由M是D1C的中点，可知C∈平面D1MN，根据NC∥A1D1，可知A1∈平面D1MN，得到截面图形可判断B;利用线面平行的判定定理可判断C;利用面面平行的判定定理可判断D.
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解析：对于A，由图知，A，B，C在平面ABCD内，D1不在平面ABCD内，所以A，B，C，D1四点不共面，直线AC与BD1为异面直线，故A正确;对于B，因为点M是D1C的中点，所以点C∈平面D1MN.因为NC∥A1D1，所以点A1∈平面D1MN，所以截面为平行四边形D1A1BC，故B错误;
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对于C，连接D1B，因为M和N分别为CD1和CB的中点，所以MN∥
D1B，MN 平面BB1D1D，D1B 平面BB1D1D，所以直线MN∥平面BB1D1D，故C正确;对于D，因为BC1∥AD1，BC1 平面ACD1，AD1 平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，同理A1C1∥平面ACD1，且BC1∩A1C1=C1，BC1 平面A1C1B，A1C1 平面A1C1B，所以平面A1C1B∥平面D1AC，故D正确.
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三、填空题
10.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.
①α∥γ，n β;②m∥γ，n∥β;③n∥β，m γ.
可以填入的条件有_________.(填序号)
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①或③
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解析：由面面平行的性质定理可知，①正确;当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误;当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确.
13
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=_______.
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a
解析：如图所示，连接AC，
易知MN∥平面ABCD，
∴MN∥PQ.又MN∥AC，
∴PQ∥AC.∵AP=，
∴==.∴PQ=AC=×a=a.
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四、解答题
12.(10分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E为DD1的中点.
(1)求证：BD1∥平面AEC;(5分)
解：证明：连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，底面ABCD为正方形，对角线AC，BD交于点O，所以O为BD的中点.又因为E为DD1的中点，在△DBD1中，OE是△DBD1的中位线，所以OE∥BD1.又OE 平面AEC，BD1 平面AEC，
所以BD1∥平面AEC.
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(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC∥平面BFD1 若存在，请说明理由.(5分)
解：存在CC1上的中点F满足平面AEC∥平面BFD1.理由如下：
如图，因为F为CC1的中点，
E为DD1的中点，所以CF∥ED1，
CF=ED1，
所以四边形CFD1E为平行四边形，
所以D1F∥EC.
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又因为EC 平面AEC，
D1F 平面AEC，所以D1F∥平面AEC.
由(1)知BD1∥平面AEC，
又因为BD1∩D1F=D1，BD1，
D1F 平面BFD1，
所以平面AEC∥平面BFD1.
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13.(10分)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD;(4分)
快审准解：取CD的中点Q，连接MQ，NQ，
根据线面平行与面面平行的判定可得平面MNQ∥
平面PAD，进而可得证明MN∥平面PAD;
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证明：取CD的中点Q，连接MQ，NQ.
因为M，N，Q分别为AB，PC，CD的中点，
故MQ∥AD，NQ∥PD，
又MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
故MQ∥平面PAD，同理NQ∥平面PAD.
又MQ，NQ 平面MNQ，MQ∩NQ=Q，故平面MNQ∥平面PAD.
又MN 平面MNQ，故MN∥平面PAD.
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(2)若平面PAD∩平面PBC=l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论.(6分)
快审准解：根据线面平行的判定可得BC∥平面PAD，再根据线面平行的性质证明即可.
证明：因为四边形ABCD为平行四边形，故AD∥BC.又BC 平面PAD，AD 平面PAD，故BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PBC=l，BC 平面PBC，故BC∥l.
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13第四节 空间直线、平面的平行
1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线、面平行的有关性质与判定定理.
2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题.
教材再回首
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与　　　　　的一条直线平行,那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) 因为　　　　　　,a α,l α,所以l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面　　　,那么该直线与交线平行(简记为“线面平行 线线平行”) 因为l∥α,l β,　　　　　　,所以l∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条　　　　　与另一个平面平行,那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) 因为a∥β,b∥β,　　　　　,a α,b α,所以α∥β
性质定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面　　　,那么两条　　　　平行(简记为“面面平行 线线平行”) 因为α∥β,α∩γ=a,　　　　,所以a∥b
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. (　　)
(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条. (　　)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (　　)
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. (　　)
(5)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. (　　)
(6)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行. (　　)
2.(人A必修②P142T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是 (　　)
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α
3.(人A必修②P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为　　　　.
题点一　直线与平面平行的判定与性质
考法(一)　直线与平面平行的判定
[例1]　如图,正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ,求证:PQ∥平面BCE.
|思维建模|
证明或判断直线与平面平行的常用方法
(1)利用定义,证明直线a与平面α没有公共点,一般结合反证法证明;
(2)利用线面平行的判定定理,即线线平行 线面平行.辅助线的作法为平面外直线的端点进平面,同向进面,得平行四边形的对边,不同向进面,延长交于一点得平行于第三边的线段;
(3)利用面面平行的性质定理,把面面平行转化成线面平行.
考法(二)　利用线面平行的性质证线线平行
[例2]　正四棱柱OABC-O1A1B1C1中,点P,Q,R分别在AA1,BB1,CC1上,且O,P,Q,R四点共面.若OP=OR,记平面OPQR与底面的交线为l,证明:AC∥l.
|思维建模|
线面平行性质定理的应用
证明线线平行,常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行,在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,一定注意定理成立的条件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交,这时才有直线与交线平行.
判断线段比例或点所在位置或是求线段长度,通过线面平行结合题意构造线线平行,从而找到相似比.
[即时训练]
1.如图,四边形ABCD为长方形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.求证:
(1)DF∥平面PBE;
(2)DF∥l.
题点二　平面与平面平行的判定与性质
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　如图,已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'B'C'∶S△ABC= (　　)
A.2∶3 B.2∶5
C.4∶9 D.4∶25
[变式拓展]　若将本例条件“PA'∶AA'=2∶3”改成“=”,则=　　　　.
[例4]　如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).
(1)求证:BC∥GH;
(2)若E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点,求证:平面EFA1∥平面BCHG.
|思维建模|　证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β α∥β).
(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ α∥γ).
[即时训练]
2.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
(1)求证:平面A1BD∥平面CD1B1;
(2)若平面ABCD∩平面CD1B1=l,求证:B1D1∥l.
题点三　平行关系的综合应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例5]　如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别为AC,A1C1上的点.
(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.
|思维建模|
利用线面平行或面面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置.对于线段长或线段比例问题,常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.
[即时训练]
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,BC的中点.
(1)当点P在棱DD1上运动时,是否都有MN∥平面A1C1P,证明你的结论;
(2)若P是DD1的中点,Q是BB1的四等分点,且B1Q=3QB,求证:平面MNQ∥平面A1C1P.
第四节　空间直线、平面的平行
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.此平面内　l∥a　相交　α∩β=b
2.相交直线　a∩b=P　相交　交线　β∩γ=b
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
2.选D　若α∩β=l,a∥l,a α,a β,则a∥α,a∥β,排除A;若α∩β=l,a α,a∥l,则a∥β,排除B;若α∩β=l,a α,a∥l,b β,b∥l,则a∥β,b∥α,排除C.
3.解析:因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,所以EF∥HG.同理,EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.
答案:平行四边形
课堂·题点精研
题点一
[例1]　方法引入:法一:通过作平行四边形,在平面BCE内寻找与PQ平行的直线,再利用线面平行的判定定理给出证明.
法二:通过对应线段成比例,在平面BCE内寻找与PQ平行的直线,再利用线面平行的判定定理给出证明.
法三:通过寻找过PQ且与平面BCE平行的一个平面,利用平面与平面平行的性质证明.
证明: 法一　如图所示,作PM∥AB 交BE 于点M,作QN∥AB 交BC 于点N,连接MN.
因为正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB,所以AE=BD.又AP=DQ,所以PE=QB.又PM∥AB∥QN,所以===,所以=.又AB=DC,所以PM=QN,所以四边形PMNQ 为平行四边形,
(线面平行构造平行四边形法)
所以PQ∥MN.又MN 平面BCE,PQ 平面BCE,
所以PQ∥平面BCE.
法二　如图所示,连接AQ 并延长交BC 于点M,连接EM,有=,又因为正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB,所以AE=BD.又AP=DQ,所以PE=QB,所以=,从而有=,所以PQ∥EM.又EM 平面BCE,PQ 平面BCE,所以PQ∥平面BCE.
法三　如图,在平面ABEF 内,过点P 作PM∥BE 交AB 于点M,连接QM,则PM∥平面BCE.因为PM∥BE,所以=.又AE=BD,AP=DQ,所以PE=BQ,
所以=,所以=,
所以MQ∥AD.又AD∥BC,所以MQ∥BC.
又BC 平面BCE,MQ 平面BCE,
所以MQ∥平面BCE.又PM∩MQ=M,PM,MQ 平面PMQ,所以平面PMQ∥平面BCE.又PQ 平面PMQ,所以PQ∥平面BCE.
[例2]　证明:连接AC,PR,由正四棱柱OABC-O1A1B1C1,可得AA1∥OO1∥CC1,AO=OC,∠PAO=∠RCO=90°.又因为OP=OR,所以由勾股定理可得AP=CR.又AA1∥CC1,所以RC∥AP,所以四边形APRC是平行四边形,所以PR∥AC.又AC 平面OABC,PR 平面OABC,所以PR∥平面OABC.又PR 平面OPQR,平面OPQR∩平面OABC=l,所以PR∥l,所以AC∥l.
[即时训练]
1.证明:(1)取PB的中点G,连接FG,EG,
因为点F为PC的中点,
所以FG∥BC,FG=BC.
因为四边形ABCD为长方形,所以BC∥AD,且BC=AD.
所以DE∥FG,DE=FG,所以四边形DEGF为平行四边形,
所以DF∥GE.因为DF 平面PBE,GE 平面PBE,所以DF∥平面PBE.
(2)由(1)知DF∥平面PBE,
又DF 平面PDC,平面PDC∩平面PBE=l,所以DF∥l.
题点二
[例3]　选D　由题意,知平面α∥平面ABC,所以AB∥平面α.又平面α∩平面PAB=A'B',所以A'B'∥AB,同理可得AC∥A'C',BC∥B'C',所以∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',所以△ABC∽△A'B'C'.
因为PA'∶AA'=2∶3,所以PA'∶PA=2∶5,所以A'B'∶AB=2∶5,所以===.故选D.
[变式拓展]
解析:由例3的分析可得,△ABC∽△A'B'C',所以==,所以=,所以==,所以=.
答案:
[例4]　证明:(1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,
平面ABC∥平面A1B1C1,
又平面BCHG∩平面ABC=BC,
且平面BCHG∩平面A1B1C1=HG,
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG,BC 平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1AB,
∴A1GEB,∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1E∥GB.∵A1E 平面BCHG,GB 平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF=E,A1E,EF 平面EFA1,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
[即时训练]
2.证明:(1)由题设知BB1∥DD1且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1,B1D1 平面CD1B1,
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC,
所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1,D1C 平面CD1B1,
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B=B,BD,A1B 平面A1BD,
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,
又平面ABCD∩平面CD1B1=l,
平面ABCD∩平面A1BD=BD,所以l∥BD,
又B1D1∥BD,所以B1D1∥l.
题点三
[例5]　解:(1)当=1时,BC1∥平面AB1D1.
如图,连接A1B交AB1于点O,连接OD1.
由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,O,D1分别为A1B,A1C1的中点,∴OD1∥BC1.
又OD1 平面AB1D1,BC1 平面AB1D1,
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当=1时,BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1.
因此BC1∥OD1,同理AD1∥DC1.
∴=,=.
又=1,∴=1,即=1.
[即时训练]
3.解:(1)当点P在棱DD1上运动时,都有MN∥平面A1C1P.证明如下:
连接AC,在正方形ABCD中,MN为△ABC的中位线,可得MN∥AC,
由正方体的截面性质可得四边形A1ACC1为矩形,则AC∥A1C1,可得MN∥A1C1,
又MN 平面A1C1P,A1C1 平面A1C1P,
则MN∥平面A1C1P.
(2)证明:取A1A的中点F,连接PF,FB1,
取B1B的中点E,连接AE,
由FP∥A1D1,FP=A1D1,A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1,
可得FP∥B1C1,FP=B1C1,
即四边形FPC1B1为平行四边形,
可得FB1∥PC1.
由E为B1B的中点,且B1Q=3QB,
可得Q为BE的中点,且MQ∥AE,
由四边形AEB1F为平行四边形,
可得AE∥FB1,即有MQ∥PC1.
又MQ 平面A1C1P,PC1 平面A1C1P,
则MQ∥平面A1C1P,
又MN∥平面A1C1P,MN∩MQ=M,MN,MQ 平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面A1C1P.课时跟踪检测(五十)　空间直线、平面的平行
一、单选题
1.(2024·淄博二模)已知α,β,γ为三个不同的平面,a,b,l为三条不同的直线.若α∩β=l,α∩γ=a,β∩γ=b,l∥γ,则下列说法正确的是 (　　)
A.a与l相交 B.b与l相交
C.a∥b D.a与β相交
2.(2025·恩施模拟)“平面α 与平面β 平行”是“平面α 内的任何一条直线都与平面β 平行”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.如图,在三棱台ABC A1B1C1中,从A,B,C,A1,B1,C1中取3个点确定平面α,若平面α∩平面A1B1C1=m,且m∥AB,则所取的这3个点可以是 (　　)
A.A1,B,C B.A1,B,C1
C.A,B,C1 D.A,B1,C1
4.(2024·全国甲卷)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m,下述四个命题:
①若m∥n,则n∥α或n∥β;②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β;③若n∥α且n∥β,则m∥n;④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n.
其中所有真命题的编号是 (　　)
A.①③ B.②④
C.①②③ D.①③④
5.过四棱锥P ABCD任意两条棱的中点作直线,其中与平面PBD平行的直线有 (　　)
A.4条 B.5条
C.6条 D.7条
6.在三棱柱ABC A1B1C1中,点D在棱BB1上,且BB1=4BD,点M为A1C1的中点,点N在棱BB1上,若MN∥平面ADC1,则= (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
二、多选题
7.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,则 (　　)
A.OM∥PA B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
8.在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,则 (　　)
A.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
B.平面PAD和平面PBC的交线与底面ABCD平行
C.平面PAB和平面PCD的交线与底面ABCD平行
D.平面PAD内任意一条直线都不与BC平行　
9.如图,已知在正方体ABCD A1B1C1D1中,M和N分别为CD1和CB的中点,则下列结论正确的是 (　　)
A.直线AC与BD1为异面直线
B.正方体ABCD A1B1C1D1过点D1,M,N的截面为三角形
C.直线MN∥平面BB1D1D
D.平面A1C1B∥平面D1AC　
三、填空题
10.设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n γ,且　　　　,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m γ.
可以填入的条件有　　　　.(填序号)
11.如图,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　.
四、解答题
12.(10分)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为DD1的中点.
(1)求证:BD1∥平面AEC;(5分)
(2)CC1上是否存在一点F,使得平面AEC∥平面BFD1 若存在,请说明理由.(5分)
13.(10分)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAD;(4分)
(2)若平面PAD∩平面PBC=l,判断BC与l的位置关系,并证明你的结论.(6分)
课时跟踪检测(五十)
1.选C　对于A、B,l∥γ,l 平面α,α∩γ=a,则l∥a,同理可得l∥b,则A、B错误;对于C,由A、B知道a∥b,则C正确;对于D,由A知道l∥a,a 平面β,l 平面β,则a∥β,故D错误.
2.选C　如图1,平面α 与平面β 平行,在平面α 内任取一条直线a,作平面γ,使得直线a γ,即γ∩α=a 且γ∩β=b,由面面平行的性质可知a∥b,因为a β,b β,故a∥β,充分性成立.如图2,平面α 内的任何一条直线都与平面β 平行,不妨取两条相交直线a,b均平行于β,则平面α 与平面β 平行,必要性成立.故选C.
3.选C　由于几何体A1B1C1 ABC是三棱台,则AB∥A1B1.又AB 平面A1B1C1,A1B1 平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1,当AB 平面α,平面α∩平面A1B1C1=m时,由直线与平面平行的性质定理可知m∥AB,选项C符合要求.
4.选A　若α∩β=m,则m α,m β,对于①,若m∥n,则n∥α或n∥β,①正确;对于②,若m⊥n,则可能n α或n∥α或n与α相交,②错误;对于③,若n∥α且n∥β,则n∥m,③正确;对于④,n与m所成的角可以为内的任意角,④错误.故选A.
5.选C　如图,设E,F,G,H,I,J,M,N为相应棱的中点,
则NE∥PB,且NE 平面PBD,PB 平面PBD,所以NE∥平面PBD.同理可得HE,NH,GF,MF,MG与平面PBD平行,由图可知,其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内,所以与平面PBD平行的直线有6条.故选C.
6.快审准解:根据已知条件及线面平行的判定定理,利用面面平行的判定定理和性质定理,结合平行四边形的性质即可得结论.
选B　依题意,作出图形如图所示,设P为AA1的中点,因为M为A1C1的中点,所以MP∥AC1.又MP 平面ADC1,AC1 平面ADC1,所以MP∥平面ADC1,连接PN.又因为MN∥平面ADC1,MN∩MP=M,MN,MP 平面MNP,所以平面MNP∥平面ADC1.又平面MNP∩平面ABB1A1=PN,平面ADC1∩平面ABB1A1=AD,所以PN∥AD.又AA1∥BB1,所以四边形ADNP是平行四边形,所以DN=AP=BB1,所以B1N+BD=B1B.又BB1=4BD,所以B1N=BD,所以BN=3B1N,所以=3.故选B.
7.选BC　由题意知,OM是△BPD 的中位线,所以OM∥PD,又PD∩PA=P,故A不正确;因为PD 平面PCD,OM 平面PCD,所以OM∥平面PCD,故B正确;同理,可得OM∥平面PDA,故C正确;OM与平面PBA 相交于点M,故D不正确.
8.选ACD　设平面PBC∩平面PAD=l,在平面PBC内存在无数条直线与l平行,且不在平面PAD内,则在平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行,故A正确;若l∥平面ABCD,l 平面PBC,平面PBC∩平面ABCD=BC,则l∥BC,同理,l∥AD,则BC∥AD,这与四边形ABCD为梯形矛盾,故B错误;设平面PAB∩平面PCD=m,∵AB∥CD,平面PAB∩平面ABCD=AB,平面PCD∩平面ABCD=CD,∴AB∥m,又AB 平面ABCD,m 平面ABCD,∴m∥平面ABCD,故C正确;假设平面PAD内存在一条直线a与BC平行,则BC∥平面PAD,又BC 平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,则BC∥AD,不符合题意,∴平面PAD内任意一条直线都不与BC平行,故D正确.
9.快审准解:根据A,B,C,D1四点不共面可判断A;由M是D1C的中点,可知C∈平面D1MN,根据NC∥A1D1,可知A1∈平面D1MN,得到截面图形可判断B;利用线面平行的判定定理可判断C;利用面面平行的判定定理可判断D.
选ACD　对于A,由图知,A,B,C在平面ABCD内,
D1不在平面ABCD内,所以A,B,C,D1四点不共面,直线AC与BD1为异面直线,故A正确;对于B,因为点M是D1C的中点,所以点C∈平面D1MN.因为NC∥A1D1,所以点A1∈平面D1MN,所以截面为平行四边形D1A1BC,故B错误;对于C,连接D1B,因为M和N分别为CD1和CB的中点,所以MN∥D1B,MN 平面BB1D1D,D1B 平面BB1D1D,所以直线MN∥平面BB1D1D,故C正确;对于D,因为BC1∥AD1,BC1 平面ACD1,AD1 平面ACD1,所以BC1∥平面ACD1,同理A1C1∥平面ACD1,且BC1∩A1C1=C1,BC1 平面A1C1B,A1C1 平面A1C1B,所以平面A1C1B∥平面D1AC,故D正确.
10.解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当m∥γ,n∥β时,n和m可能平行或异面,②错误;当n∥β,m γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以m∥n,③正确.
答案:①或③
11.解析:如图所示,
连接AC,易知MN∥平面ABCD,∴MN∥PQ.又MN∥AC,∴PQ∥AC.∵AP=,∴==.∴PQ=AC=×a=a.
答案:a
12.解:(1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO.
因为ABCD A1B1C1D1为正方体,底面ABCD为正方形,对角线AC,BD交于点O,所以O为BD的中点.又因为E为DD1的中点,在△DBD1中,OE是△DBD1的中位线,所以OE∥BD1.
又OE 平面AEC,BD1 平面AEC,
所以BD1∥平面AEC.
(2)存在CC1上的中点F满足平面AEC∥平面BFD1.理由如下:
如图,因为F为CC1的中点,E为DD1的中点,所以CF∥ED1,CF=ED1,所以四边形CFD1E为平行四边形,所以D1F∥EC.
又因为EC 平面AEC,D1F 平面AEC,所以D1F∥平面AEC.
由(1)知BD1∥平面AEC,又因为BD1∩D1F=D1,BD1,D1F 平面BFD1,所以平面AEC∥平面BFD1.
13.快审准解:(1)取CD的中点Q,连接MQ,NQ,根据线面平行与面面平行的判定可得平面MNQ∥平面PAD,进而可得证明MN∥平面PAD;
(2)根据线面平行的判定可得BC∥平面PAD,再根据线面平行的性质证明即可.
证明:(1)取CD的中点Q,连接MQ,NQ.
因为M,N,Q分别为AB,PC,CD的中点,故MQ∥AD,NQ∥PD,
又MQ 平面PAD,AD 平面PAD,故MQ∥平面PAD,同理NQ∥平面PAD.
又MQ,NQ 平面MNQ,MQ∩NQ=Q,故平面MNQ∥平面PAD.
又MN 平面MNQ,故MN∥平面PAD.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形,故AD∥BC.又BC 平面PAD,AD 平面PAD,故BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PBC=l,BC 平面PBC,故BC∥l.

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