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2024-2025学年广东省东莞市第十三高级中学等三校高一下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在中，点在线段上，且，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在下列正方体中，，为正方体的两个顶点，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，，，，四点共面的是( )
A. B. C. D.
4.在三角形中，，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.若圆台的上底面面积与下底面面积分别为，且圆台的体积为，则该圆台的母线长为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角所对的边分别是，若的面积为，则( )
A. B. C. D.
7.已知的边长均为，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.刘徽约公元年年，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形如图所示，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到的近似值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中不正确的是( )
A. 已知非零向量，，，若，，则
B. 若，则为平行四边形
C. 若且，则
D. 若点为的重心，则
10.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是( )
A. 水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状
B. 水面四边形的面积不改变
C. 棱始终与平行
D. 当时，是定值
11.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则( )
A. B. 的取值范围为
C. 的最大值为 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则的虚部为 ．
13.定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角若，，，则 ．
14.四棱锥的底面是边长为的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中为虚数单位，．
若为实数，求的值；
若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值．
16.本小题分
在中，内角的对边分别为．
求；
若的面积为，求边上的中线的长．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，是四棱锥的高，且是的中点；

求证平面；
求四棱锥和三棱锥的体积．
18.本小题分
如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．

用、表示、；
若，，且与的夹角为，求；
如果，，且，求．
19.本小题分
在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中．
若米，求烧烤区的面积？
为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？
在条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：若为实数，
则有，得或．
若复数在复平面内对应的点在直线上，
则，得．
16.解：因为，由正弦定理得，因为，
由余弦定理得：，
又，所以．
由，所以，
由，所以，
因为为边上的中线，所以，
则
，即．
故边上的中线的长为．
17.解：连结交于，连结．
四边形是正方形，是的中点．
又是的中点，
平面平面
平面

是四棱锥的高，
，
即四棱锥的体积为．
同理，是四棱锥的高，是四棱锥的高
法一；

法二
18.解：因为，所以，，
因为为中点，点为上的三等分点，且靠近点，则，，
则．
可知，，，
因为，，则．
因为，则，可得，
又因为，则，
又因为，由平面向量数量积的定义可得，
所以，
．
19.解：若，则，
又，所以，
所以烧烤区的面积为．
设米，则，
又，所以，
所以烧烤区的面积为，
所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米，
所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大．
由得米，
所以在中由题意得，即，
所以，
所以
，
又，所以，
所以当即时，有最大值为，
此时，，
所以在条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大．

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