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2024-2025学年广东省东莞市光明中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
2.在中，角的对边为，已知，则( )
A. B. C. D.
3.如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
4.在中，角所对三条边为，已知，则角( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知平面，直线，满足，，则“ ”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，弦的长度为，则的值为 ．
A. 与半径有关 B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 任意单位向量的模都相等
B. 若，是平面内的两个不同的点，则
C. 若向量，，则
D. 零向量与任意向量平行
10.在中，下列命题正确的( )
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，则是等腰三角形
11.如图，已知正方体的棱长为，则下列四个结论正确的是( )
A. B. 平面
C. 正方体的外接球的表面积为 D. 三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆台的上，下底面半径分别为和，母线长为则该圆台的表面积为 ．
13.已知平面向量，若，则 ．
14.在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，．
Ⅰ当时，求的值；
Ⅱ若是纯虚数，求的值；
Ⅲ若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围．
16.本小题分
已知平面向量，满足，且与的夹角为．
求的值；
求的值；
求与夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，试判断的形状并给出证明．
18.本小题分
如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点，为中点．

求证：平面；
上是否存在点，使平面平面若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数．
记的相伴函数为，当时，若，求的值；
已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值；
已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值．
参考答案
1.
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5.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.Ⅰ由题意；
Ⅱ由题意为纯虚数，则，所以；
Ⅲ，对应点，它是第二象限点，则，解得故的范围是．

16.由可得；
．
即可得与夹角的余弦值为．

17.根据题意，由可知，
根据余弦定理可知，，
又角为的内角，所以；
为等边三角形
由三角形内角和公式得，，
故
根据已知条件，可得，
整理得
所以，
又，
所以，
又由知，
所以为等边三角形

18.因为分别是的中点，
所以，且平面，平面，
所以平面；
存在，点是的中点，此时，连结

因为分别是的中点，
所以，平面，平面，
所以平面，
由可知，平面，且，且平面，
所以平面平面，
所以上存在中点，使平面平面．
19.依题意，，
由，可得，
因，则，故，
于是；
依题意，，其中
因函数在时取得最大值，则，解得，
即，则，，
由
，
因，函数在上单调递减，
故当时，取得最小值，此时取得最小值为；
依题，则，因，则．
如图作于点，因点为的外心，则，
如图，
，
则，
由正弦定理，，则，则，
因，则当时，取得最大值为．

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