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2024-2025学年山东省青岛市第六十六中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
3.如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为( )
A. B. C. D.
4.在中，，分别是边，的中点，点满足，则( )
A. B. C. D.
5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上即行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山顶相对公路所在平面的高度 ．
A. B. C. D.
6.已知向量、满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.将一个半径为的金属球熔化后，先浇铸成个半径为的小球，再把剩余材料铸成个正方体，则该正方体的棱长大约为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，动点在正方形包括边界内运动，若平面，则线段的长度的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.若复数，则( )
A.
B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限
D. 复数满足，则的最大值为
11.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在点，使得平面
B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 三棱锥的体积为定值
D. 三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则 ．
13.已知一个圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，则该圆台的侧面积为 ．
14.在圆内接四边形中，已知，，平分则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，且．
求；
求与的夹角．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面为平行四边形，是上的点．
若、分别是和中点，求证：平面；
若平面，求证：是中点．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求角；
若，且，求的面积．
18.本小题分
如图，在正三棱柱中，已知是棱的中点．
若平面平面，求证：；
求与所成角的余弦值；
该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积．
19.本小题分
为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花．已知扇形的半径为米，圆心角为，点在扇形的弧上，点在上，且．
当米时，求的长；
综合考虑到成本与美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大，设，求面积的最大值与面积最大值时的角．
参考答案
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13.
14.
15.因为向量，所以，
由得，解得，所以．
又，所以．
设向量与向量的夹角为，
因为，则，
又，所以，
即向量与向量的夹角是．

16.证明：取中点，连接，，
在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且，
又因为底面为平行四边形，为的中点，
所以，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面；
连接，交于，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，在中，为中点，
所以为中点．

17.因为，所以，
所以，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以；
因为，且，所以由余弦定理，
可得，所以，，
所以的面积为．

18.证明：在正三棱柱中，平面平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
．
设中点为，连接，，
是棱的中点，且，
即四边形为平行四边形，，
在正三棱柱中，，
，，，
故与所成角的余弦值．
在正三棱柱中，底面为等边三角形，
，，
，
，
所以剩余部分的体积．

19.由，得，
在中，，，
由余弦定理得，
即，而，解得．
由，得，，，
在中，由正弦定理得，则，
因此
，
因为，所以，
所以当，即时，，
的面积取得最大值，
所以面积的最大值为平方米，此时．

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