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2024-2025学年山东省青岛市第三十九中高一下学期5月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
3.如图，四棱锥，，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是
A. 四点不共面 B. 四点共面
C. 三点共线 D. 三点共线
4.如图，一个大风车的半径长为，每旋转一周，最低点离地面为，若风车翼片从如图所示的点处按逆时针方向开始旋转，已知点离地面，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是( )
A. B.
C. D.
5.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.记函数的最小正周期为，且将的图象向右平移个单位，所的图象关于轴对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了在同一水平面上的，，三处，如图已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.如图所示，边长为的正方形的顶点，分别在边长为的正方形的边和上移动，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则( )
A.
B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为
D. 在方向上的投影向量的坐标为
10.已知函数，要得到函数的图象可由函数的图象( )
A. 先将横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B. 先将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
11.在复平面内，下列说法正确的是( )
A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B.
C. 若复数满足，则
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ．
13.将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为和，则它的高为 ．
14.在边长为的正方体中，点是该正方体表面上一个动点，且平面，则动点的轨迹的长度是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
求；
若的面积为，求．
16.本小题分
如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点．

求证：平面；
设平面平面，求证：．
17.本小题分
已知复数满足．
求；
若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和的值．
18.本小题分
在中，设所对的边分别为，已知．
求角的值；
若，判断的形状；
若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
19.本小题分
如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”．
若向量的“完美坐标”为，求；
已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.【详解】由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，，
又，所以．
因为的面积为，所以，即，
由，则，即，
所以，即．

16.【详解】取的中点，连接，如图所示，
由，且，
，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，
所以．


17.【详解】设，
因为，则，
故，解得
故；
因为是实系数一元二次方程的一个根，
则也为实系数一元二次方程的一个根，
故，解得，
故．

18.【详解】在中，由及正弦定理，得，
整理得，
因，则，则得，
而，所以．
在中，由及正弦定理，得，
故得，因，故得，
即为等边三角形．
由知，，
因为锐角三角形，得，则，
由正弦定理，得，
所以．

19.【详解】因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为，正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，，
所以．
由知，
所以
，
即．
因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由得．
令，则，
因为，所以，即，
令，
因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为．

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