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2024-2025学年山东省青岛实验高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
3.圆锥的底面半径为，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是
A. B. C. D.
4.已知点是的外心，，若，，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
6.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则( )
A. B. C. D.
7.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为当底面水平放置时水面高度为如图当侧面水平放置时如图，水面高度为( )
A. B. C. D.
8.如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为
10.下列四个命题中为假命题的是( )
A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面
C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D. 通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积
11.如图，在梯形中，，，，，，，交于，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平行四边形中，对角线与相交于点，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是 ．
13.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是 ．
14.某摩天轮示意图如下图所示，其半径为，最低点与地面距离为，转动一圈若该摩天轮上一吊箱视为质点从点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱第次距离地面时，所经历的时长为 单位：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为．
求复数；
设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值．
16.本小题分
为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内海底探测仪测得，，，，同时测得海里．

求的长度；
求，之间的距离．
17.本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，已知．
求角的值；
若，．，边上的两条中线，相交于点，求．
18.本小题分
蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜都有较大的危害某热带养殖场为检测蚊虫密度，在养殖区悬挂多盏诱蚊灯，去年每月收集天，连续检测了个月，其中月份蚊虫最多，月份最少，由于工作人员不小心，某些月份数据丢失，保留的月份及每月对应的蚁虫密度值的数据如下表；
从，且，且中选择一个合适的函数模型，并给出理由；
在的基础上，求出蚊虫密度关于月份的拟合模型的解析式；
今年养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾，养殖场计划当蚊虫密度不低于时，将采取灭蚊措施若此养殖场今年的蚊虫密度符合中的函数模型，估计养殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施？
19.本小题分
如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”．
若向量的“完美坐标”为，求；
已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域．
参考答案
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15.设，，，
由题意得，解得或，又因为复数在复平面上对应点在第一象限，所以．
，，，
所以对应的点，，，从而，，．

16.如图所示，在中，，，且海里．
可得，
又因为，所以，
由正弦定理，可得．
因为，且，，
可得，所以，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得，
即海里所以间的距离为海里．


17.解：因为，
所以由正弦定理得：，
整理得：，
所以，
又因为，
所以；
法：因为，，
所以，
由中线长公式知：，，
得，，
又因为是的重心，
所以，，
连结，则，
在中，；
法：向量法，，
，
，，
故，同理得，
所以；
法：以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立直角坐标系，
则，，，
所以，，
所以

18.适合．
当与时，，而，且与，且均为单调函数，
所以适合．
由月份蚊虫最多，月份最少，得，所以，得，
由，得，
所以，将代入得，
即，又，所以，
故．
令，得，
即，得，
又，故，
即养殖场应准备在月采取灭蚊措施．

19.因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为，正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，，
所以．
由知，
所以
，
即．
因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由得．
令，则，
因为，所以，即，
令，
因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为．

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