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2024-2025学年四川省眉山市彭山区第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知在中，，，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
4.已知点则与同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
5.下列说法错误的是( )
A. 棱台侧棱的延长线必相交于一点 B. 正四棱锥的侧面可以是等边三角形
C. 棱柱的侧面都是平行四边形 D. 矩形旋转一周一定能形成一个圆柱
6.若是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
7.某校高一年级的学生参加了主题为追寻大儒足迹，传承董子文化的实践活动在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为 参考数据：

A. B. C. D.
8.如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部是 B. 的共轭复数是
C. D.
10.在中，内角所对的边分别是，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的外接圆的面积是
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则可能等于
D. 若，则的面积为或
11.设函数，则( )
A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数
C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，则 ．
13.定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角已知，则 ．
14.在中，已知，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，．
若，求的值；
的面积等于，求的值．
16.本小题分
已知向量．
若，求的值；
若，求实数的值；
若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
17.本小题分
在中，角的对边分别为，且．
求；
若，点在边上，且是的平分线，求的面积．
18.本小题分
已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
求的解析式；
求函数单调递增区间和对称轴方程；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，．
证明：；
若，，．
求的值；
求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：在中，由正弦定理，得，
所以的值是．
由的面积等于，得，解得，
由余弦定理，得，即，
解得或，
所以或．

16.解：因为向量，且，
所以，解得，
所以．
因为，且，
所以，解得．
因为与的夹角是钝角，
则且与不共线，
即且，
所以且．

17.解：由，得，
解法一：由正弦定理得，
又中，，所以，
所以，
于是，
又，所以，
又，所以．
解法二：由余弦定理得，
化简得，
由余弦定理得，
又，
所以．
由是的平分线，得，
解法一：，
又，
所以
．
解法二：由得
．
即，
解得，
所以．
18.解：，
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以．
令，
则，
所以的单调递增区间为
令，解得，
即的对称轴方程为．
由知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，
所以，
因为在上只有一个解，

由的图象可得，或，
所以的取值范围是

19.解：因为，所以，
在中，，可得，
所以，即．
在中，由正弦定理得，
可得，即，
由已证：，即，
将代入得，，即，
解得或舍去，
因为，所以．
在中，由正弦定理得，
即，
由余弦定理得，
因为，，，所以，所以，
在中，由余弦定理得：，
将，，式依次代入即得：
，
因为，所以，
结合正弦函数的图象可得，
所以，即的取值范围为．

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