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湖南省郴州市2025年高中学业水平合格性考试第二次监测
数学试卷
一、单选题：本题共18小题，每小题5分，共90分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.下列函数中，是奇函数的是( )
A. B. C. D.
4.从，，，这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知为虚数单位，则复数对应的复平面上的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.函数的图象经过的定点是( )
A. B. C. D.
7.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.已知，是实数，则“”是“”是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
11.已知球内切于一个边长为的正方体，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
12.下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
13.函数的零点是( )
A. B. C. D.
14.下列说法正确的是( )
A. 第一象限角一定是锐角 B. 若是钝角，则是第一象限角
C. 大于的角一定是钝角 D. 若是锐角，则是第二象限角
15.已知向量，则的值( )
A. B. C. D.
16.的值是( )
A. B. C. D.
17.已知函数的周期和振幅分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
18.一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字，，，，，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为”，“两次向上的数字之和是”，则下列结论正确的是( )
A. 该试验的样本空间共有个样本点 B. 事件与事件互斥
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
19.计算： ．
20.已知，则 ．
21.若事件与互斥，且，则 ．
22.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则角 ．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.本小题分
如图，直四棱锥内接于圆柱，为圆柱的母线，四边形是底面的内接平行四边形，，分别是，的中点．
证明：平面；
若四边形为长方形，且，求圆柱的表面积．
24.本小题分
已知某班一共有个学生，男生比女生多人，采用分层抽样的方法从中抽取名学生志愿者参加植树节活动，若抽取的样本中男生有人，女生有人．
该班一共有多少人？
从抽取的名学生志愿者中再随机抽取名同学承担浇灌任务．设为事件“抽取的名同学均为男生”，求事件发生的概率．
25.本小题分
已知函数．
证明：函数为奇函数；
判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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23.【详解】因为，分别是，的中点，可知是的中位线，则，
又因为，则，
且平面，平面，
所以平面．
因为四边形为长方形则为底面圆的直径，且，
设为圆柱的底面圆半径，为圆柱的高，则，
所以圆柱的表面积．

24.【详解】因为抽取名同学中男生和女生的比例为，
根据分层抽样的方法可知：该班中男生人数为，女生人数为
因为男生比女生多人，所以人，
解得人．
由知，设抽取的名男生分别记为，，，
抽取的两名女生分别记为，从抽取的名同学中抽取名同学的所有可能结果为：
共个．
为事件“抽取的名同学均为男生”，则事件包含的基本事件有：
，共个基本事件，
事件发生的概率．

25.【详解】由题意可知：的定义域为，
且，
所以是奇函数．
因为，
设且，
则，
因为，则，可得，，
则，即，
故在上的单调递增．
由知在上的单调递增，且
因为，则原不等式等价于，
即，可得且，解得或
所以实数的取值范围为：或．

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