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第六节　空间向量与线面位置关系
　　 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
教材再回首
1.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中,具有　　　和　　　的量
相等向量 方向　　　且模　　　的向量
相反向量 长度　　　而方向　　　的向量
共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相　　　或　　　的向量
共面向量 平行于　　　　　　的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在　　　的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos.
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b 　　　　　　　
共线 a=λb (b≠0,λ∈R) 　　　　　　　 　　　　　　　
垂直 a·b=0 (a≠0,b≠0) 　　　　　　　
模 |a|
夹角 余弦值 cos= (a≠0,b≠0) cos=
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,那么称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则称向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l α l∥α n⊥m n·m=0
l⊥α n∥m n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m n=λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m=0
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的. (　　)
(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α. (　　)
(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量. (　　)
(4)若a·b<0,则是钝角. (　　)
(5)若两平面的法向量平行,则不重合的两平面平行. (　　)
2.(人A选必修①P12T1改编)若{a,b,c}为空间向量的一个基底,则下列各项中,能构成空间向量的基底的一组向量是 (　　)
A.a,a+b,a-b 　B.b,a+b,a-b
C.c,a+b,a-b 　D.a+b,a-b,a+2b
3.(人B选必修①P61T2改编)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是 (　　)
A.(-1,1,1) 　B.(1,-1,1)
C. 　D.
4.(苏教选必修②P31T2)设t为实数,若直线l垂直于平面α,且l的方向向量为(t,2,4),α的法向量为,则t的值为　　　　.
题点一　空间向量的线性运算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,则等于 (　　)
A.a+b+c B.a-b+c
C.a+b-c D.-a+b+c
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.用,,表示,则=　　　　.
|思维建模|
进行向量的线性运算的关键点
(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系.
(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.
[即时训练]
1.如图,在三棱锥O-ABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示,则= (　　)
A.(-a+b+c) B.(a+b-c)
C.(a-b+c) D.(-a-b+c)
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是C1D1的中点,且=+x+y,则实数x+y= (　　)
A.- B.-
C. D.
题点二　共线、共面向量定理的应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　如图,已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点,且=k,=k,=k,=+m,=+m,k,m∈R.求证:
(1)A,B,C,D四点共面,E,F,G,H四点共面;
(2)∥;
(3)=k.
|思维建模|　应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法
三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面
=λ =x+y
对空间任一点O,=+t 对空间任一点O,=+x+y
对空间任一点O,=x+(1-x) 对空间任一点O,=x+y+(1-x-y)
[即时训练]
3.已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若=6-4+λ,则λ等于 (　　)
A.2　　　　B.-2
C.1 D.-1
4.设x,y是实数,已知三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(x,3,y+2)在同一条直线上,那么x+y= (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
题点三　空间向量的数量积及其应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　(2025·南昌模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.
(1)求证:四边形BDD1B1为正方形;
(2)求体对角线AC1的长度;
(3)求异面直线AB1与BD1所成角的余弦值.
|思维建模|
空间向量数量积的3个应用
(1)求夹角:设向量a,b夹角为θ,则cos θ=,进而可求两异面直线所成的角.
(2)求长度(距离):利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.
(3)解决垂直问题:利用a⊥b a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
[即时训练]
5.如图,正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1,E,F,G,H分别是正四面体ABCD中各棱的中点,设=a,=b,=c,试采用向量法解决下列问题:
求:(1)的模长;
(2),的夹角.
题点四　向量法证明平行、垂直
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例4]　如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,点E和F分别为BC和A1C的中点.
求证:(1)EF∥平面A1B1BA;
(2)平面AEA1⊥平面BCB1.
|思维建模|
(1)利用向量法证明平行、垂直关系,关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件,准确写出相关点的坐标,进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
(2)向量法证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量,但向量法证明仍然离不开立体几何的有关定理.
[即时训练]
6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)设点E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.
第六节　空间向量与线面位置关系
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.大小　方向　相同　相等　相等　相反　平行　重合　
同一个平面　2.(2)唯一　3.(2)a1b1+a2b2+a3b3　
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3　a1b1+a2b2+a3b3=0
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2.C　3.C　4.1
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)D　(2)++
(1)=++=-++=-+++(-)=-++=-a+b+c.
(2)=+=+=(+)+=++.
[即时训练]
1.选B　=+=(-)+=-+(-)=+-=(a+b-c).
2.选D　=++=++=+x+y,故x=,y=1,所以x+y=.
题点二
[例2]　证明:(1)因为=+m,=+m,
所以由共面向量定理可得,,是共面向量,,,是共面向量.因为,,有公共点A,,,有公共点E,所以A,B,C,D四点共面,E,F,G,H四点共面.
(2)因为=+m=-+m(-)=k(-)+km(-)=k+km=k(+m)=k,所以∥.
(3)=+=k+k=k(+)=k.
[即时训练]
3.选B　已知=6-4+λ,即-=6-4+λ,整理得=6-3+λ,由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6-3+λ=1,解得λ=-2.
4.选D　由已知可得=(1,-1,3),=(x-1,-2,y+4).因为A,B,C三点共线,所以存在唯一实数λ,使得=λ,
所以解得所以x+y=5.
题点三
[例3]　解:(1)证明:因为=-,=-=-,所以=,而B,D,D1,B1不共线,所以四边形BDD1B1为平行四边形.
又·=(-)·=·-·=1×1×-1×1×=0,所以⊥,即BD⊥BB1,所以四边形BDD1B1为正方形.
(2)由题意易知=++=++,
所以=(++)2=+++2·+2·+2·,
因为AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,所以2·=2·=2·=2×1×1×=1,===1,所以=6 ||=,即AC1=.
(3)因为=+,=-++,
所以·=(+)·(-++)=-+·+·+=1,||===,
||=
=
=,
所以cos<,>===,所以异面直线AB1与BD1所成角的余弦值为.
[即时训练]
5.解:(1)因为正四面体ABCD的棱长为1,E,F,G,H分别是正四面体ABCD中各棱的中点,=a,=b,=c,
所以==(-)=(b-a),
==c,所以=++
=-(b-a)-a+c=(c-a-b),
所以||2=(c-a-b)2
=(c2+a2+b2-2a·c+2a·b-2b·c)
=(1+1+1-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°-2×1×1×cos 60°)=,故||=.
(2)由(1)知=(c-a-b),||=.
同理,=(b+c-a),||=.
所以cos<,>===[(c-a)2-b2]=(c2+a2-2c·a-b2)=(1+1-2×1×1×cos 60°-1)=0,
所以与的夹角为90°.
题点四
[例4]　证明:因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1,所以过E作平行于BB1的垂线为z轴,EC,EA所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=3,BE=,所以AE=2,所以E(0,0,0),C(,0,0),A(0,2,0),B(-,0,0),A1(0,2,),则F.
(1)=,=(-,-2,0),=(0,0,).
设平面AA1B1B的法向量n=(x,y,z),
则所以取
所以n=(-2,,0).因为·n=×(-2)+1×+×0=0,所以⊥n.
又EF 平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.
(2)因为EC⊥平面AEA1,
所以=(,0,0)为平面AEA1的一个法向量.
又EA⊥平面BCB1,
所以=(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量.
因为·=0,所以⊥,故平面AEA1⊥平面BCB1.
[即时训练]
6.解:(1)证明:在底面ABCD内过D作直线DF∥AB,交BC于点F,在Rt△DFC中,DF=,FC=3,可知DC=2.
又在Rt△BAD中,AB=,AD=1,∴BD=2,∴BC2=BD2+DC2,∴BD⊥DC.
∵PD⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,∴BD⊥PD.又PD∩CD=D,PD,CD 平面PDC,∴BD⊥平面PDC.又∵PC 平面PDC,∴BD⊥PC.
(2)以D为坐标原点,DA,DF,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,,0),
D(0,0,0),C(-3,,0),设PD=a,则P(0,0,a),则=(0,,0),=(0,0,a),=(1,0,-a),=(-3,,-a),
∵=λ,∴=(-3λ,λ,-aλ),
则=+=(0,0,a)+(-3λ,λ,-aλ)
=(-3λ,λ,a-aλ),
设平面PAB的法向量n=(x,y,z),
则即令z=1,则n=(a,0,1),∵DE∥平面PAB,
∴·n=0,∴-3aλ+a-aλ=a(1-4λ)=0.
∵a≠0,∴λ=,故λ的值为.(共79张PPT)
第六节
空间向量与线面位置关系
明确目标
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有_____和_____的量
相等向量 方向_____且模_____的向量
相反向量 长度_____而方向_____的向量
共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_____或______的向量
共面向量 平行于___________的向量
大小
方向
相同
相等
相等
相反
平行
重合
同一个平面
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底.
唯一
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b=|a||b|cos.
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b ________________
共线 a=λb(b≠0，λ∈R) _______________________
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3
续表
垂直 a·b=0 (a≠0，b≠0) ______________________
模 |a|
夹角 余弦值 cos= (a≠0，b≠0) cos=
a1b1+a2b2+a3b3=0
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l α l∥α n⊥m n·m=0
l⊥α n∥m n=λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n=λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m=0
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.(　　)
(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　　)
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.(　　)
(4)若a·b<0，则是钝角.(　　)
(5)若两平面的法向量平行，则不重合的两平面平行.(　　)
×
×
×
×
√
2.(人A选必修①P12T1改编)若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是 (　　)
A.a，a+b，a-b B.b，a+b，a-b
C.c，a+b，a-b D.a+b，a-b，a+2b
√
3.(人B选必修①P61T2改编)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是 (　　)
A.(-1，1，1) 　　B.(1，-1，1)
C. 　　D.
4.(苏教选必修②P31T2)设t为实数，若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为(t，2，4)，α的法向量为，则t的值为_____.
√
1
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且=a，=b，=c，则等于(　　)
A.a+b+c B.a-b+c
C.a+b-c D.-a+b+c
√
题点一　空间向量的线性运算
解析：=++
=-++
=-+++(-)
=-++
=-a+b+c.
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.用表示，则=____________________.
解析：=+=+
=(+)+=++.
++
进行向量的线性运算的关键点
(1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系.
(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.
思维建模
1.如图，在三棱锥O-ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设=a，=b，=c，用a，b，c表示，则=(　　)
A.(-a+b+c) B.(a+b-c)
C.(a-b+c) D.(-a-b+c)
即时训练
√
解析：=+=(-)+
=-+(-)
=+-
=(a+b-c).
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且=+x+y，则实数x+y=(　　)
A.- B.-
C. D.
解析：=++=++=+x+y，故x=，y=1，所以x+y=.
√
[例2]　如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且=k=k=k=+m=+
m，k，m∈R.求证：
(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
证明：因为=+m=+m，
所以由共面向量定理可得是共面向量，
是共面向量.因为有公共
点A，有公共点E，所以A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面.
题点二　共线、共面向量定理的应用
(2)∥；
证明：因为=+m=-+m(-)=k(-)+
km(-)=k+km=k(+m)=k，所以∥.
(3)=k.
证明：=+=k+k=k(+)=k.
应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法
思维建模
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
=λ =x+y
对空间任一点O，=+t 对空间任一点O，=+x+y
对空间任一点O，=x+(1-x) 对空间任一点O，=x+y+(1-x-y)
3.已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若=6-4+λ，则λ等于(　　)
A.2 B.-2
C.1 D.-1
解析：已知=6-4+λ，即-=6-4+λ，整理得=6-3+λ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6-3+λ=1，解得λ=-2.
即时训练
√
4.设x，y是实数，已知三点A(1，5，-2)，B(2，4，1)，C(x，3，y+2)在同一条直线上，那么x+y= (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
√
解析：由已知可得=(1，-1，3)，=(x-1，-2，y+4).因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数λ，使得=λ，
所以解得所以x+y=5.
[例3]　(2025·南昌模拟)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.
(1)求证：四边形BDD1B1为正方形；
解：证明：因为=-=-
=-，所以=，而B，D，D1，B1不共线，所以四边形BDD1B1为平行四边形.又·=(-)·=·-·=1×1×-1×1×=0，所以⊥，即BD⊥BB1，所以四边形BDD1B1为正方形.
题点三　空间向量的数量积及其应用
(2)求体对角线AC1的长度；
解：由题意易知=++=++，
所以=(++)2=+++2·+2·
+2·，因为AB=AD=AA1=1，BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，所以2·=2·=2·=2×1×1×=1，===1，所以=6 ||=，即AC1=.
(3)求异面直线AB1与BD1所成角的余弦值.
解：因为=+=-++，
所以·=(+)·(-++)=-+·+·+=1，||==
=，
||=
=
=，所以cos<>===，
所以异面直线AB1与BD1所成角的余弦值为.
空间向量数量积的3个应用
(1)求夹角：设向量a，b夹角为θ，则cos θ=，进而可求两异面直线所成的角.
(2)求长度(距离)：利用公式|a|2=a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.
(3)解决垂直问题：利用a⊥b a·b=0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
思维建模
5.如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设=a，=b，=c，试采用向量法解决下列问题：
求：(1)的模长；
解：因为正四面体ABCD的棱长为1，
E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，
=a，=b，=c，所以==(-)=(b-a)，
即时训练
==c，所以=++
=-(b-a)-a+c=(c-a-b)，所以||2=(c-a-b)2
=(c2+a2+b2-2a·c+2a·b-2b·c)
=(1+1+1-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°-2×1×1×
cos 60°)=，故||=.
(2)的夹角.
解：由(1)知=(c-a-b)，||=.同理，=(b+c-a)，||=.
所以cos<>==
=[(c-a)2-b2]=(c2+a2-2c·a-b2)=(1+1-2×1×1×cos 60°-1)=0，
所以与的夹角为90°.
[例4]　如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
AB=AC=3，BC=2，AA1=，点E和F分别为BC和
A1C的中点.
求证：(1)EF∥平面A1B1BA；
证明：因为AB=AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以过E作平行
于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，
y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
题点四　向量法证明平行、垂直
因为AB=3，BE=，所以AE=2，所以E(0，0，0)，C(，0，0)，A(0，2，0)，B(-，0，0)，A1(0，2，)，则F.
==(-，-2，0)，=(0，0，).
设平面AA1B1B的法向量n=(x，y，z)，
则所以取
所以n=(-2，，0).
因为·n=×(-2)+1×+×0=0，
所以⊥n.
又EF 平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)平面AEA1⊥平面BCB1.
证明：因为EC⊥平面AEA1，所以=(，0，0)为平面AEA1的一个法向量.
又EA⊥平面BCB1，所以=(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量.
因为·=0，所以⊥，
故平面AEA1⊥平面BCB1.
思维建模
(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
(2)向量法证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量法证明仍然离不开立体几何的有关定理.
6.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=
90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=，BC=4.
(1)求证：BD⊥PC；
解：证明：在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，
交BC于点F，在Rt△DFC中，DF=，FC=3，可知DC=2.又在Rt△BAD中，AB=，AD=1，
∴BD=2，∴BC2=BD2+DC2，∴BD⊥DC.
即时训练
∵PD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴BD⊥PD.
又PD∩CD=D，PD，CD 平面PDC，
∴BD⊥平面PDC.
又∵PC 平面PDC，∴BD⊥PC.
(2)设点E在棱PC上，=λ，若DE∥平面PAB，求λ的值.
解：以D为坐标原点，DA，DF，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，，0)，
D(0，0，0)，C(-3，，0)，设PD=a，
则P(0，0，a)，则=(0，，0)，
=(0，0，a)，=(1，0，-a)，
=(-3，，-a)，
∵=λ，∴=(-3λ，λ，-aλ)，
则=+=(0，0，a)+(-3λ，λ，-aλ)=(-3λ，λ，a-aλ)，
设平面PAB的法向量n=(x，y，z)，
则即
令z=1，则n=(a，0，1)，∵DE∥平面PAB，
∴·n=0，∴-3aλ+a-aλ=a(1-4λ)=0.
∵a≠0，∴λ=，故λ的值为.
数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.已知向量a=(1，m，-1)，b=(1，-1，1)，若a⊥b，则m=(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析：因为a⊥b，所以a·b=1-m-1=0，解得m=0.
√
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2
3
4
2.已知向量a=(-4，0，1)，b=(2，，3)，则a在b上的投影向量的模为(　　)
A. B.
C. D.
√
1
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2
3
4
13
解析：由a=(-4，0，1)，b=(2，，3)，得|b|=
=4，a·b=-4×2+0×+1×3=-5，所以a在b上的投影向量的模为==.
1
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3
4
13
3.已知空间向量a=(1，2，0)，b=(0，-1，1)，c=(2，3，m)，若a，b，c共面，则实数m= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
√
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解析：因为a=(1，2，0)，b=(0，-1，1)不共线，a，b，c共面，所以存在一对有序实数(x，y)，使c=xa+yb，所以(2，3，m)=x(1，2，0)+y(0，-1，1)=(x，2x-y，y)，所以解得
1
5
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4
13
4.(2025·宣城期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若=x+y+z，则x+y+z等于(　　)
A. B.1
C. D.2
√
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解析：因为=++=++=++(-)，所以2=++，所以=++，所以x=，y=，z=，所以x+y+z=++=.故选A.
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5.(2025·杭州模拟)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1中点，M是DB靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，·(+)=0，则||的最大值是(　　)
A.1 B.
C. D.
√
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13
解析：如图，建立空间直角坐标系，
设P(x，y，z)，则D(0，0，0)，E，
F，M，所以
==，
则+=，
1
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13
因为·(+)=0，又=(x，y，z)，所以-x-y+z=0，即z=，所以||2=x2+y2+z2=x2+y2+.又0≤x≤1，0≤y≤1，所以x2+y2+
≤1+1+=3，当且仅当x=y=1，此时z=1时，等号成立，所以||的最大值是.
1
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6.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP长度的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
√
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13
解析：以D为坐标原点，以分别为x，y，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(a，b，1)，M(0，1，t)
(0≤t≤1)，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，则=(a-1，b，1)，=(-1，-1，1)，=(0，-1，1-t)，因为AP⊥平面MBD1，所以AP⊥BD1，
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AP⊥MD1，即解得所以=(t，1-t，1)，所以||==.又0≤t≤1，所以当t=时，即M是CC1的中点时，||取得最小值，当t=0或t=1，即M与点C或C1重合时，||取得最大值，所以线段AP长度的取值范围为.
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二、多选题
7.下列结论正确的是(　　)
A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3，1)，则l1∥l2
B.两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则α⊥β
C.直线l的方向向量a=(1，-1，2)，平面α的法向量是u=(6，4，-1)，则l⊥α
D.直线l的方向向量a=(0，3，0)，平面α的法向量是u=(0，-5，0)，则l∥α　
√
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√
快审准解：运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法，结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.
解析：两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3，1)，则b=-a，所以l1∥l2，A正确；两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则u·v=2×(-3)+2×4-1×2=0，所以α⊥β，B正确；直线l的方向向量a=(1，-1，2)，平面α的法向量是u=(6，4，-1)，则a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0，所以l∥α或l α，C错误；直线l的方向向量a=(0，3，0)，平面α的法向量是u=(0，-5，0)，则u=-a，所以l⊥α，D错误.
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8.(2025·大庆模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为AA1中点，Q为BC中点，则下列结论正确的是 (　　)
A.直线PD与直线QB1平行
B.直线PC1与直线QD1垂直
C.直线PQ与直线A1B相交
D.直线PQ与直线DB1异面
√
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√
解析：根据题意，设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，P(2，0，1)，Q(1，2，0)，对于A，=(2，0，1)，=(1，0，2)，由于=k对于任意的k都不会成立，则与不平行，则直线PD与直线QB1不平行，A错误；
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对于B，=(-2，2，1)，=(-1，-2，2)，则有·=2-4+2=0，则⊥，即直线PC1与直线QD1垂直，B正确；对于C，直线PQ与PB相交，故PQ 平面PBQ，直线A1B∩平面PBQ=B，B PQ，所以PQ与直线A1B是异面直线，C错误；对于D，=(-1，2，-1)，=(2，2，2)，显然两直线不平行，假设直线PQ与直线DB1相交，则P，Q，D，B1在同一平面上，=(2，0，1)，故存在实数x，y，使得=x+y，即则x，y无解，故PQ与直线DB1既不相交也不平行，是异面直线，D正确.
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9.(2024·南通三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，M是底面ABCD上一点，则下列命题正确的是 (　　)
A.M为AC中点时，PM⊥AC1
B.M为AD中点时，PM∥平面A1BC1
C.满足2PM=DD1的点M在圆上
D.满足直线PM与直线AD成30°角的点M在双曲线上
√
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√
解析：不失一般性，设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系，因为P为DD1的中点，则P(0，0，1)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，M为AC中点时，则M(1，1，0)，=(1，1，-1)，=(-2，2，2)，·=-2+2-2=-2≠0，PM与AC1不垂直，故A错误；
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M为AD中点时，PM∥AD1，因为AB∥D1C1，AB=D1C1，则四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，所以PM∥BC1，因为BC1 平面A1BC1，PM 平面A1BC1，所以PM∥平面A1BC1，故B正确；令M(x，y，0)，PM=DD1=×2=，所以DM=，所以M在以D为圆心，为半径的圆上，故C正确；=(x，y，-1)，=(2，0，0)，=cos 30°=|cos<>|=，化简得-y2=1，其为双曲线方程，故D正确.
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10.如图，在三棱锥A-BCD中，BD⊥BC，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，E，F，G，H分别为AB，BD，BC，CD的中点，M是EF的中点，N是线段GH上的动点，则 (　　)
A.存在a>0，b>0，使得=a+b
B.不存在点N，使得MN⊥EH
C.||的最小值为
D.异面直线AG与EF所成角的余弦值为
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√
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4
解析：在三棱锥A-BCD中，BD⊥BC，AB⊥平面BCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则G(1，0，0)，H(1，1，0)，E(0，0，1)，F(0，1，0)，M，A(0，0，2)，==
(0，1，0)，=(-1，0，1).对于A，由=a+b，得=a(0，1，0)+b(-1，0，1)，
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4
则方程无解，因此不存在a，b使得=a+b，A错误；对于B，由N是线段GH上的动点，设N(1，t，0)(0≤t≤1)，则==(1，1，-1)，由·=1+t-+=1
+t>0，知不存在点N，使得MN⊥EH，B正确；对于C，||=≥，当且仅当t=时取等号，C正确；
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对于D，=(1，0，-2)，=(0，1，-1)，
则cos<>==，
所以异面直线AG与EF所成角的余弦值为，D正确.
13
三、填空题
11.(2025·常州模拟)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，底面边长和侧棱长均为2，∠A1AB=∠A1AD=60°，则对角线AC1的长为______.
解析：由题可知四棱柱ABCD-A1B1C1D1为平行六面体，=+
+，所以=(++)2=+++2·+
2·+2·=4+4+4+2×2×2cos 60°+2×2×2cos 60°=20，所以||=2.
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12.设O为坐标原点，向量=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则·的最小值为_____.
解析：∵=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，可设=λ=
(λ，λ，2λ).又向量=(1，2，3)，=(2，1，2)，∴=(1-λ，2-λ，3-2λ)，=(2-λ，1-λ，2-2λ)，则·=(1-λ)×(2-λ)+(2-λ)×(1-λ)+(3-2λ)×(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6-.当λ=时，·取得最小值-.
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-
四、解答题
13.(10分)已知a=(1，-3，2)，b=(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).
(1)求|2a+b|；(5分)
解： 2a+b=(2，-6，4)+(-2，1，1)=(0，-5，5)，
故|2a+b|==5.
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(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b (O为原点)(5分)
解：令=t(t∈R)，所以=+=+t=(-3，-1，4)+
t(1，-1，-2)=(-3+t，-1-t，4-2t)，若⊥b，则·b=0，所以-2(-3
+t)+(-1-t)+(4-2t)=0，解得t=.因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为.
1
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14.(13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC
=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，
G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.
求证：(1)B1D⊥平面ABD；(5分)
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
设AB=a，则A1(a，0，0)，B1(0，0，0)，F(0，1，
0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，
2)，G，
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所以=(0，2，2)，=(-a，0，0)，=(0，2，-2)，
所以·=0+0+0=0，·=0+4-4=0，
所以⊥⊥，
所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.
又AB∩BD=B，所以B1D⊥平面ABD.
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(2)平面EGF∥平面ABD.(8分)
证明：由(1)可得=(-a，0，0)，=(0，2，-2)，
==(0，1，-1)，
所以=2=2，
所以∥∥.所以GF∥AB，EF∥BD.
13
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4
因为AB 平面ABD，GF 平面ABD，
所以GF∥平面ABD.
同理可证EF∥平面ABD，
又GF∩EF=F，所以平面EGF∥平面ABD.
13课时跟踪检测(五十二)　空间向量与线面位置关系
一、单选题
1.已知向量a=(1,m,-1),b=(1,-1,1),若a⊥b,则m= (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.已知向量a=(-4,0,1),b=(2,,3),则a在b上的投影向量的模为 (　　)
A. B.
C. D.
3.已知空间向量a=(1,2,0),b=(0,-1,1),c=(2,3,m),若a,b,c共面,则实数m= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.(2025·宣城期末)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是平行四边形,点E为棱PC的中点,若=x+y+z,则x+y+z等于 (　　)
A. B.1
C. D.2
5.(2025·杭州模拟)棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,A1D1中点,M是DB靠近B的四等分点,P在正方体内部或表面,·(+)=0,则||的最大值是 (　　)
A.1 B.
C. D.
6.若正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,动点M在线段CC1上,动点P在平面A1B1C1D1上,且AP⊥平面MBD1,则线段AP长度的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
7.下列结论正确的是 (　　)
A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则l1∥l2
B.两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β
C.直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1),则l⊥α
D.直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0),则l∥α　
8.(2025·大庆模拟)已知正方体ABCD A1B1C1D1,P为AA1中点,Q为BC中点,则下列结论正确的是 (　　)
A.直线PD与直线QB1平行 B.直线PC1与直线QD1垂直
C.直线PQ与直线A1B相交 D.直线PQ与直线DB1异面
9.(2024·南通三模)在正方体ABCD A1B1C1D1中,P为DD1的中点,M是底面ABCD上一点,则下列命题正确的是 (　　)
A.M为AC中点时,PM⊥AC1
B.M为AD中点时,PM∥平面A1BC1
C.满足2PM=DD1的点M在圆上
D.满足直线PM与直线AD成30°角的点M在双曲线上
10.如图,在三棱锥A BCD中,BD⊥BC,AB⊥平面BCD,AB=BC=BD=2,E,F,G,H分别为AB,BD,BC,CD的中点,M是EF的中点,N是线段GH上的动点,则 (　　)
A.存在a>0,b>0,使得=a+b
B.不存在点N,使得MN⊥EH
C.||的最小值为
D.异面直线AG与EF所成角的余弦值为
三、填空题
11.(2025·常州模拟)已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,底面边长和侧棱长均为2,∠A1AB=∠A1AD=60°,则对角线AC1的长为　　　　.
12.设O为坐标原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则·的最小值为　　　　　.
四、解答题
13.(10分)已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2a+b|;(5分)
(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b (O为原点)(5分)
14.(13分)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.求证:
(1)B1D⊥平面ABD;(5分)
(2)平面EGF∥平面ABD.(8分)
课时跟踪检测(五十二)
1.选B　因为a⊥b,所以a·b=1-m-1=0,解得m=0.
2.选B　由a=(-4,0,1),b=(2,,3),得|b|==4,a·b=-4×2+0×+1×3=-5,所以a在b上的投影向量的模为==.
3.选A　因为a=(1,2,0),b=(0,-1,1)不共线,a,b,c共面,
所以存在一对有序实数(x,y),使c=xa+yb,
所以(2,3,m)=x(1,2,0)+y(0,-1,1)=(x,2x-y,y),
所以解得
4.选A　因为=++=++=++(-),所以2=++,所以=++,所以x=,y=,z=,所以x+y+z=++=.故选A.
5.选D　如图,建立空间直角坐标系,
设P(x,y,z),则D(0,0,0),E,F,M,所以=,=,则+=,因为·(+)=0,又=(x,y,z),所以-x-y+z=0,即z=,所以||2=x2+y2+z2=x2+y2+.又0≤x≤1,0≤y≤1,所以x2+y2+≤1+1+=3,当且仅当x=y=1,此时z=1时,等号成立,所以||的最大值是.
6.选C　以D为坐标原点,以,,分别为x,y,z轴的正半轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,设P(a,b,1),M(0,1,t)(0≤t≤1),则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),则=(a-1,b,1),=(-1,-1,1),=(0,-1,1-t),因为AP⊥平面MBD1,所以AP⊥BD1,AP⊥MD1,即解得所以=(t,1-t,1),所以||==.又0≤t≤1,所以当t=时,即M是CC1的中点时,||取得最小值,当t=0或t=1,即M与点C或C1重合时,||取得最大值,所以线段AP长度的取值范围为.
7.快审准解:运用空间线线平行,线面平行,线面垂直,面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论,逐个判断即可.
选AB　两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则b=-a,所以l1∥l2,A正确;两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则u·v=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以α⊥β,B正确;直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1),则a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0,所以l∥α或l α,C错误;直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0),则u=-a,所以l⊥α,D错误.
8.选BD　根据题意,设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,如图建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),P(2,0,1),Q(1,2,0),对于A,=(2,0,1),=(1,0,2),由于=k对于任意的k都不会成立,则与不平行,则直线PD与直线QB1不平行,A错误;对于B,=(-2,2,1),=(-1,-2,2),则有·=2-4+2=0,则⊥,即直线PC1与直线QD1垂直,B正确;对于C,直线PQ与PB相交,故PQ 平面PBQ,直线A1B∩平面PBQ=B,B PQ,所以PQ与直线A1B是异面直线,C错误;对于D,=(-1,2,-1),=(2,2,2),显然两直线不平行,假设直线PQ与直线DB1相交,则P,Q,D,B1在同一平面上,=(2,0,1),故存在实数x,y,使得=x+y,即则x,y无解,故PQ与直线DB1既不相交也不平行,是异面直线,D正确.
9.选BCD　不失一般性,设正方体棱长为2,如图建立空间直角坐标系,
因为P为DD1的中点,则P(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,2),M为AC中点时,则M(1,1,0),=(1,1,-1),=(-2,2,2),·=-2+2-2=-2≠0,PM与AC1不垂直,故A错误;M为AD中点时,PM∥AD1,因为AB∥D1C1,AB=D1C1,则四边形ABC1D1为平行四边形,则AD1∥BC1,所以PM∥BC1,因为BC1 平面A1BC1,PM 平面A1BC1,所以PM∥平面A1BC1,故B正确;令M(x,y,0),PM=DD1=×2=,所以DM=,所以M在以D为圆心,为半径的圆上,故C正确;=(x,y,-1),=(2,0,0),=cos 30°=|cos<,>|=,化简得-y2=1,其为双曲线方程,故D正确.
10.选BCD　在
三棱锥A BCD中,BD⊥BC,AB⊥平面BCD,建立如图所示的空间直角坐标系,则G(1,0,0),H(1,1,0),E(0,0,1),F(0,1,0),M,A(0,0,2),=,=(0,1,0),=(-1,0,1).对于A,由=a+b,得=a(0,1,0)+b(-1,0,1),则方程无解,因此不存在a,b使得=a+b,A错误;对于B,由N是线段GH上的动点,设N(1,t,0)(0≤t≤1),则=,=(1,1,-1),由·=1+t-+=1+t>0,知不存在点N,使得MN⊥EH,B正确;对于C,||=≥,当且仅当t=时取等号,C正确;对于D,=(1,0,-2),=(0,1,-1),则cos<,>==,
所以异面直线AG与EF所成角的余弦值为,D正确.
11.解析:由题可知四棱柱ABCD A1B1C1D1为平行六面体,=++,所以=(++)2=+++2·+2·+2·=4+4+4+2×2×2cos 60°+2×2×2cos 60°=20,所以||=2.
答案:2
12.解析:∵=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,可设=λ=(λ,λ,2λ).又向量=(1,2,3),=(2,1,2),∴=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),则·=(1-λ)×(2-λ)+(2-λ)×(1-λ)+(3-2λ)×(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6-.当λ=时,·取得最小值-.
答案:-
13.解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|==5.
(2)令=t(t∈R),所以=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=.因此存在点E,使得⊥b,此时点E的坐标为.
14.证明:
(1)如图所示,建立空间直角坐标系,
设AB=a,则A1(a,0,0),B1(0,0,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G,
所以=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2),
所以·=0+0+0=0,·=0+4-4=0,
所以⊥,⊥,所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.
又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.
(2)由(1)可得=(-a,0,0),=(0,2,-2),
=,=(0,1,-1),
所以=2,=2,
所以∥,∥.所以GF∥AB,EF∥BD.
因为AB 平面ABD,GF 平面ABD,所以GF∥平面ABD.
同理可证EF∥平面ABD,
又GF∩EF=F,所以平面EGF∥平面ABD.

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