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2024-2025学年黑龙江省多校联考高二下学期5月阶段测试(四)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知集合满足，则不同的的个数为( )
A. B. C. D.
4.已知命题，，命题，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
5.已知命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.已知三个不等式：；；，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成的真命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.设，，则下列不等式中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
8.已知，且，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”对于集合，，若集合与“相交”，则等于( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 存在，使得是真命题
C. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
11.下列有关最值的结论中，正确的是( )
A. 已知，则函数的最大值为
B. 已知，，则的最小值为
C. 已知，，则的最大值为
D. 已知，为实数，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 ．
13.已知集合，，若，，则 ．
14.已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集为，集合，集合．
若，求，；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数，设在上单调递增，在上单调递减；．
若成立，求的取值范围；
若是的充分不必要条件，求的取值范围．
17.本小题分
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．
求的值及表达式；
隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
18.本小题分
某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销通过市场分析发现，生产此款电子仪器全年需投入固定成本万元，每生产千个电子仪器，需另投入成本万元，且假设每千个电子仪器售价定为万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．
求出全年的利润万元关于年产量千个的函数关系式利润销售额成本
当全年产量为多少千个时，该企业所获利润最大最大利润是多少万元
19.本小题分
问题：正数，满足，求的最小值，其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题；
若正实数，满足，求的最小值；
若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由；
利用的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时的值．
参考答案
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14.
15.【详解】解不等式，得，则，或，
当时，，所以，．
由，得，而，
当时，，解得，此时满足，因此；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是．

16.【详解】因为二次函数的对称轴为，
若成立，即在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，即的取值范围为；
因为，，
又是的充分不必要条件，
所以真包含于，
所以等号不同时成立，解得，
经检验，当或时，，
所以的取值范围为．

17.【详解】依题意，当时，，即，解得，
．
．
当且仅当，即时“”成立．
答：隔热层修建厘米时，总费用达到最小，最小值为万元．

18.解：当时，，
当时，
，
；
当时，，
当时，万元；
当时，，
当且仅当时，即时，万元；
因为，
所以全年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
19.【详解】若正实数，满足，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
正实数，，，满足，且，
，
又，
当且仅当且，即时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立．
由的结论可知，若正实数，，，满足，且，
则，当且仅当时等号成立．
要使有意义，需满足且，解得，
则，即，
所以．
令，所以，即，此时，
所以，由可得
，即，
，，
当且仅当时等号成立．
由，得，
所以当时，取得最小值．

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