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2024-2025学年江苏省盐城市五校高一下学期5月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等于( )
A. B. C. D.
2.若复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，的对边分别是，，，若，，则( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 和两条异面直线都相交的两条直线必定是异面直线
C. 水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，角、、所对边分别为、、若，则该三角形一定是( )
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
7.设，，，则有( )
A. B. C. D.
8.如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”如图的两个顶点，动点在“六芒星”上内部以及边界，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零复数，，其共轭复数分别为，，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是( )
A. 当时，在上的投影向量为
B. 当时，
C. 当时，
D. 的最大值为
11.在锐角中，角，，所对边分别为，，，且则下列说法正确的是( )
A.
B. 角的范围是
C. 若的平分线交于，，，则
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若，，三点共线，则 ．
13.已知，，且，， ； ．
14.如图，在四边形中，，，，，，的面积分别为，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知，若为纯虚数，求的值．
设复数，若是实数，求；
已知复数满足，求．
16.已知三棱锥满足，．
证明：直线与直线是异面直线；
若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
17.在直角梯形中，，，，点是边上的中点．
若点满足，且，求的值；
若点是线段上的动点含端点，求的取值范围．
18.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且
求角的大小；
若，求的取值范围；
若点为所在平面内一点，且满足求的取值范围．
19.射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点，，，经过中心投影之后的投影点分别为，，，对于四个有序点，，，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
若点、分别是线段、的中点，求
证明：
已知，点为线段的中点，，，求A.
参考答案
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14.
15.解：因为为纯虚数，
所以且，解得；
因为，，
所以，又是实数，
，即，则，
所以；
因为，且，因此可设，
则，
由题意可得，所以，
解得，即．

16.解：因为直线平面，点平面，
点，点平面，所以直线与直线是异面直线．
如图：取的中点，连接，，
因为为的中点，为的中点，
所以，，
所以异面直线与所成角或其补角，
因为，所以，，
在中，，则，
所以，即，
在中由余弦定理得，
因为异面直线所成角范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为．

17.解：由，
又，即，故；
如下图，令且，
，
，
所以，
所以．

18.解：因为，即，
整理可得，即，
在中，，故，
又为锐角三角形，故．
因为，可得，
由正弦定理，，即，
则，
又，故，则；
由为锐角三角形可得：，可得，
所以，则，则．
因为，
所以，
所以，，即，
所以为的外心，
所以，，
所以
，
由同理可得，则，
所以，
所以．

19.解：由已知，，
所以；
由题意，
在，，，中，
，
，
则，
在，，，中，
，
，
则，
又，，，，
由可得，
，
即；
由题意，由可知，，
则，即．，
又点为线段的中点，即，
故，
又，则，，
设，，且，
由可知，
，
即，
解得，
又在中，利用正弦定理可知，，
在中，利用正弦定理可知，，
且，
则可得，
，即，
由解得，，，即，，
则．
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