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2024-2025学年北京市海淀区北京中学高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.的展开式中，所有二项式的系数和为( )
A. B. C. D.
2.某兴趣小组组织，，三项比赛，请甲、乙、丙三位同学参加，每项冠军只有一人，若甲恰好拿到其中一项冠军，则不同的冠军归属有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.定义在上的函数其导函数为，若为偶函数，则( )
A. B. C. D.
4.，，三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学某中学现有四位学生报名若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
6.若函数在上有极值，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，直线与曲线交于两点，其中是切点，记，则下列判断正确的是( )
A. 只有一个极值点
B. 有两个极值点，且极小值点小于极大值点
C. 的极小值点小于极大值点，且极小值为
D. 的极小值点大于极大值点，且极大值为
9.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现规律．我国南宋数学家杨辉在年所著的详解九章算法一书中出现了这个表，我们称之为杨辉三角，如下左图所示：

杨辉三角第行的个数依次为，，，现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如上右图：在这个新的三角数阵中，第行的所有数的和为( )
A. B. C. D.
10.设函数若在上恒成立，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
11.的展开式中含项的系数为 ．
12.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；函数在处的导数 ．
13.将分别写有，，，的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数首位不为，则组成的不同四位数的个数有 用数字作答
14.函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
15.对于三次函数，定义：设是函数的函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”；此时的图象关于“拐点”对称已知函数的“拐点”为，则点坐标为 ，在点的切线为，若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
16.已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论：
可能是负数；
；
为定值；
若存在，使得，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知的展开式中，各项的系数之和为．
求的值；
求展开式中第三项的二项式系数和第三项；
求展开式的常数项．
18.已知函数．
当时，求的定义域；
若在区间上单调递减，求的取值范围；
当时，若，证明：则．
19.已知函数，设为曲线在点处的切线，其中．
求直线在轴上的截距的取值范围：
设直线分别与曲线和射线交于，两点，求的最小值及此时的值．
20.已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值；
若在时取得极值，设，当时，试比较与大小，并说明理由．
21.给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质：
，且；
；
与不同时在数对序列中．
当时，写出所有满足的数对序列；
当时，证明：；
当为奇数时，记的最大值为，求．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.由题设，令有，可得；
由得，则展开式通项为，，
所以，第三项的二项式系数为，第三项为；
由，令，即，故常数项为．

18.当时，，
要使有意义，则有，解得且，
的定义域为；
又，
在区间上单调递减，在上恒成立，
令，则，
在上单调递增，的最大值为，
，
，，的取值范围是；
当时，，，
令，则，
，且，在上单调递增，
当时，，则，单调递减，
当时，，则，单调递增，
当时，取得最小值，
，得证．

19.对求导数，得，所以切线的斜率为，由此得切线的方程为：，
即得直线在轴上的截距为．
设，所以，令，得．
列表得：
单调递减 单调递减
所以函数在上单调递减，所以，，
所以直线在轴上的截距的取值范围是．
过作轴的垂线，与射线交于点，所以是等腰直角三角形．
所以．
设，，所以．
令，则，
所以在上单调递增，
所以，从而在上单调递增．
所以，此时，．
所以的最小值为，此时．

20.解：当时，，，
，，
所以曲线在点处的切线方程为．
由，得．
若，当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
所以，当时，有极小值，无极大值；
若，当时，恒成立，
所以在上单调递减，所以无极值．
若，当时，恒成立，
所以在上单调递减，所以无极值．
综上，当时，有极小值，无极大值；
当时，无极值．
由，，所以．
由，
所以．
又，所以．
构造函数，
则．
当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，即，
所以成立，
所以，即．

21.解：依题意，当，时有：
或．
当时，
因为与不同时在数对序列中，
所以，所以每个数至多出现次，
又因为，
所以只有对应的数可以出现次，
所以．
当为奇数时，先证明．
因为与不同时在数对序列中，
所以，
当时，构造恰有项，
且首项的第个分量与末项的第个分量都为．
对奇数，如果可以构造一个恰有项的序列，
且首项的第个分量与末项的第个分量都为，
那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：
首先，对于如下个数对集合：
，
，
，
，
每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，
所以，
其次，对每个不大于的偶数，
将如下个数对并为一组：
，
共得到组，将这组对数以及，
按如下方式补充到的后面，
即
．
此时恰有项，所以．
综上，当为奇数时，
．

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