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2024-2025学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.若复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，在区间单调递增，且在定义域内为奇函数的是( )
A. B. C. D.
4.函数的值域为( )
A. B.
C. D.
5.已知椭圆：，点，若直线与椭圆交于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
6.设，则( )
A. B. C. D.
7.我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于，即根据以上思路求解：函数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判，其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 决定系数越小，模型的拟合效果越差
B. 经验回归方程相对于样本点的残差为
C. 若随机变量服从正态分布，，则
D. 一组数，，，，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大
10.已知为正实数，，则下列说法正确的是( )
A. B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是( )
A. 坐标为
B. 当时，
C. 若，则
D. 过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知变量的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现与之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为，据此模型预测当时的值为 ．
13.在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令则数列的通项公式为 ．
14.已知函数，，对于任意的，存在，使得成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在三棱柱中，侧面是边长为的正方形，，．

求证：平面平面；
求二面角的余弦值．
16.本小题分
已知数列的首项为，且满足．
求证：是等比数列；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
当时，证明：
若函数的图象始终在直线上方，求的取值范围．
18.本小题分
为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群数量较大进行试验，从该试验种群中随机抽查了只，得到如下的样本数据单位：只：
发病 没发病 合计
使用药物
没使用药物
合计
能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？
从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值．
若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取只动物，记抽取的只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望．
附：，其中．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，且经过点，为椭圆的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆在轴上方的交点为，直线与椭圆在轴上方的交点为．
求椭圆的标准方程；
若，证明：；
若，探究之间关系．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.，
14.
15.因为侧面是边长为的正方形，
所以，
因为，
则，因为，
所以，即，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；

以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，
则，
设平面的法向量为，
由，可得，令，则，
平面的法向量为，
所以，
又二面角为锐角，所以其余弦值为．
16.【详解】证明：
数列满足，即，
，
即，
又，
，
数列表示首项为，公比为的等比数列．
由知，
，
，
当为偶数时，可得；
当为奇数时，可得；
综上可得，
17.【详解】解：当时，可得，
要证不等式，即证，
令函数，可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即，
所以原不等式成立；
解：要使得函数的图象始终在直线上方，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
可得，
当时，，此时函数单调递减，
又由，所以在上不恒成立，舍去；
当时，，即，解得，
当时，；当时，；
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，
要使得在上恒成立，只需，
令，即在成立，
即在成立，
令，可得，
所以在单调递增，
因为，所以，即，所以，
所以实数的取值范围为．
18.【详解】提出零假设该药物与预防该疾病无关，
根据表格得出，，
由此推断不成立，
则能在犯错误的概率不超过的前提下，认为该药物与预防该疾病有关．
由条件可得，
由表中数据可知，，，则．
样本中没发病的动物有只，其中使用药物的有只，
则使用药物且没发病的频率为，
将频率视作概率，则，
则，，
，，
则的分布列为：
期望．
19.【详解】由题意得：
因此，椭圆的标准方程为；
由知，，
，
即，
又，
即，
，即；
设令，
，消去得：，
，，
，，
，
设，令，
，消去得：，
，，
，，
，
．

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