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2024-2025学年浙江省宁波中学高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积为( )
A. B. C. D.
2.已知是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
若则；
若则；
若则；
若是异面直线，则其中真命题是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
3.如图直四棱柱的体积为，底面为平行四边形，的面积为，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
4.如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论：
；；平面；平面．
其中恒成立的为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 与平面所成的角为 D. 四面体的体积为
6.在三棱锥中，两两垂直，，则直线与平面所成角的正切值等于( )
A. B. C. D.
7.如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则
A. B. C. D.
8.如图，已知正三棱柱，，分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.，是不在平面内的任意两点，则( )
A. 在内存在直线与直线异面 B. 在内存在直线与直线相交
C. 存在过直线的平面与垂直 D. 在内存在直线与直线平行
10.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则 ．
A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为
C. D. 的面积为
11.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是( )
A. B. 直线与平面所成的角为定值
C. 二面角的大小为定值 D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.“米升子”是一种古代专司量米的量器，其形状是上大下小的正四棱台将“米升子”装满后用手指或筷子沿升子口刮平叫“平升”现有一“米升子”的缩小模型，上、下两面正方形的边长分别为和，侧面与上面的夹角为，则该“米升子”模型“平升”的容积为
13.如图，二面角的大小是，线段．，与所成的角为则与平面所成的角的正弦值是 ．
14.已知正方形的边长为，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为 ．
四、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形已知，，，，．

证明平面；
求异面直线与所成的角的正切值；
求二面角的正切值．
16.本小题分
如下图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，为的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】证明：在中，由题设，可得．
于是．
在矩形中，．
又，平面，
所以平面．
证明：由题设，，所以或其补角是异面直线与所成的角．
在中，由余弦定理得
由知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，
故．
所以异面直线与所成的角的正切值为．
解法二：

由可知，平面，平面，
所以平面平面，
作于，交于点，
因为平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
，则．
所以异面直线与所成的角的正切值为

过点做于，连接．
因为平面，平面，所以．
又，因而平面，
又平面，所以
从而是二面角的平面角．
由题设可得，
，，
，，
，
于是在中，．
所以二面角的正切值为．
解法二：由知，．
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，
所以，
又平面的一个法向量可以是．
由图知二面角的大小为锐角，
所以，则
所以二面角的正切值为．
16.试题解析：
证法：连结，设与相交于点，连接，则为中点，
为的中点，
．
【证法：取中点，连接和，
平行且等于，四边形为平行四边行
，
，
同理可得
又
．
Ⅱ，
又，
又
法一：设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．
则．
，
平面的一个法向量，
．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【法二：取的中点，连结，则
，故，
，
延长相交于点，连结，
则为直线与平面所成的角．
因为为的中点，故，又
即直线与平面所成的角的正弦值为】
【法三：取的中点，连结，则
，故，
，
取中点，连结，过点作，则，
连结，，
为直线与平面所成的角，
即直线与平面所成的角的正弦值为】

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