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2024-2025学年河南省信阳高级中学北湖校区高二下学期5月测试（一）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.有男女教师各人，男女学生各人，从中选派人参加一项活动，要求其中至少有名女性，并且至少有名教师，则不同的选派方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.经过圆锥的轴的截面是面积为的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
6.设，为随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
7.下列说法不正确的是( )
A. 在回归直线方程中，与具有负线性相关关系
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大
C. 随机变量服从正态分布，若，则
D. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
8.已知是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，过作直线与交于，两点，若，且的面积为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有位男士、位女士，乙队有位男士、位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件表示从乙队甲队已经抽取一人派往乙队中随机抽取一人抽到的是男士，则( )
A. B. C. D.
11.下列说法中正确的是( )
A. 将个相同的小球放入个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有种放法
B. 被除后的余数为
C. 若，则
D. 抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点的横坐标，另一个的点数为点的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，点在圆内的次数的均值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的有理项共有 项．
13.已知圆和圆相切，则
14.数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法在组合数的计算中有如下性质：，应用上述知识，计算 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知抛物线的准线方程为．
求抛物线的标准方程；
过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值．
16.本小题分
如图，圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，点为棱的中点，为弧上一点，且
求三棱锥的体积；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知数列满足．
证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
18.本小题分
众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社以下是接下来个星期用表示第个星期，用表示第二个星期，以此类推参加活动的累计人数人的统计数据．
根据表中数据可以判断与大致满足回归模型，试建立与的回归方程精确到；
为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况采用按比例分层抽样抽取了男生人，其身高的平均数和方差分别为和；抽取了女生人，其身高的平均数和方差分别为和，试求全体学生身高的平均数和方差．
参考数据：，其中；
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性
若函数有两个零点，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或或
14.
15.【详解】抛物线的准线方程为，所以，即，
因此，抛物线的标准方程为．
设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，
由抛物线的定义可得，可得，则，可得，
所以点，易知点，
所以直线的斜率为，则直线的方程为，
联立可得，解得，，
所以．
16.【详解】过作交于点，因为，，
所以为正三角形，所以为中点，即，
又因为平面平面，面面，，面，所以面，即面，
因为为的中点，所以，又，
即，即，则的面积为，
因为在圆柱中，轴截面是正方形，取弧的中点，
所以两两垂直，以，，为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
由题意知，，，，
，，
设平面的法向量，
则，即
取，则，，则，
平面的法向量可取
所以，
设二面角为，则为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为．
17.【详解】因为，且，
所以，即，
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以；
由知，所以，
所以
，
故．

18.【详解】已知，两边取常用对数可得，
设，，，则回归方程变为．
先计算，，，．
根据参考公式，，将，，，代入可得：
．
．
则，
因为，，所以，则；，则．
所以与的回归方程为．
即
全体学生身高的平均数．
根据方差公式其中为各层人数，为各层方差，为各层平均数，为总平均数．
将，，，，，，代入可得：
则全体学生身高的平均数为，方差为．

19.【详解】解：函数定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，时，时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
解：由知，若函数有两个零点，
则，且，即时，有两个零点，
不妨设是函数的两个零点，
则，两式相除得，
不妨设，设，
所以，
所以，要证，只需证，即证：，
设，
则，
令，则，
所以，当时，，单调递增，
所以，在恒成立，即，
令，
则，
所以，在上单调递增，
所以，，
所以在上成立，即在上单调递增，
所以，即．
所以，．

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