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2024-2025学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二下学期4月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
3.用，，，，，可组成无重复数字的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
4.若，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
7.在二项式展开式中，下列说法不正确的是( )
A. 第三项的二项式系数为 B. 所有项的二项式系数之和为
C. 有理项共有项 D. 常数项为第五项
8.函数的单调增区间是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某种产品的加工需要经过道工序，则下列说法正确的是( )
A. 若其中某道工序不能放在最后，有种加工顺序
B. 若其中某道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有种加工顺序
C. 若其中某道工序必须相邻，有种加工顺序
D. 若其中某道工序不能相邻，有种加工顺序
10.下列说法中正确的有( )
A. 若，则成等差数列
B. 若，则成等比数列
C. 若三角形的三个内角成等差数列，则
D. 若直角三角形的三边成等差数列，则最小角的正弦值是
11.已知，则下列描述正确的是( )
A. 偶数项的二项式系数和为 B. 除以所得的余数是
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，其中至少有名男生的概率为 ．
13.若函数的最小正周期为，其图象关于点中心对称，则 ．
14.的展开式中的系数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
坛子里放着个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有个是绿皮的，个是白皮的．如果不放回地依次拿出个鸭蛋，求：
第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；
第次和第次都拿到绿皮鸭蛋的概率；
在第次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第次拿出绿皮鸭蛋的概率．
16.本小题分
已知等差数列与正项等比数列满足，且是和的等差中项．
求数列和的通项公式；
求数列的前项和；
设，记的前项和，求．
17.本小题分
在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点，二面角为直二面角．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
18.本小题分
已知动点其中到定点的距离比点到轴的距离大．
求点的轨迹的方程；
过椭圆的右顶点作直线交曲线于两点，其中为坐标原点
求证：；
设分别与椭圆相交于点，证明：原点到直线的距离为定值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性．
参考答案
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15.解：设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件，第次拿到绿皮鸭蛋为事件，
则第次和第次都拿到绿皮鸭蛋为事件，
从个鸭蛋不放回地依次拿出个鸭蛋基本事件数为，
，
因为，
所以，
由可得，在第一次拿出绿皮鸭蛋的条件下，
第二次拿出绿皮鸭蛋的概率为．

16.解：设等差数列的公差，等比数列的公比为，
由可知：，所以，，，
又因为是与的等差中项，
所以，即，
所以．
因为，
所以．
，
，
，
得：．

17.解：因为，为的中点，
所以．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
因为，，，所以．
取的中点，连接，则，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
，，
因为，
所以．
设平面的一个法向量为，
则，即
解得，令，则，则．
设直线与平面所成的角为，
又，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．

18.解：设由题意，
两边平方，整理得：
所以所求点的轨迹方程为．
设过椭圆的右顶点的直线的方程为．
代入抛物线方程，得．
设，则
．
．
设，直线的方程为，
代入，得．
于是，．
从而
，．
代入，整理得．
原点到直线的距离为定值．

19.解：当时，，则，
从而，，
故所求切线方程为，即或
由题意可得．
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．

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