2024-2025学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二下学期4月期中考试数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位,若,则( )
A. B. C. D.
3.用,,,,,可组成无重复数字的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
4.若,,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知是夹角为的两个单位向量,若向量在向量上的投影向量为,则( )
A. B. C. D.
7.在二项式展开式中,下列说法不正确的是( )
A. 第三项的二项式系数为 B. 所有项的二项式系数之和为
C. 有理项共有项 D. 常数项为第五项
8.函数的单调增区间是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知某种产品的加工需要经过道工序,则下列说法正确的是( )
A. 若其中某道工序不能放在最后,有种加工顺序
B. 若其中某道工序既不能放在最前,也不能放在最后,有种加工顺序
C. 若其中某道工序必须相邻,有种加工顺序
D. 若其中某道工序不能相邻,有种加工顺序
10.下列说法中正确的有( )
A. 若,则成等差数列
B. 若,则成等比数列
C. 若三角形的三个内角成等差数列,则
D. 若直角三角形的三边成等差数列,则最小角的正弦值是
11.已知,则下列描述正确的是( )
A. 偶数项的二项式系数和为 B. 除以所得的余数是
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动,其中至少有名男生的概率为 .
13.若函数的最小正周期为,其图象关于点中心对称,则 .
14.的展开式中的系数为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
坛子里放着个相同大小,相同形状的咸鸭蛋,其中有个是绿皮的,个是白皮的.如果不放回地依次拿出个鸭蛋,求:
第一次拿出绿皮鸭蛋的概率;
第次和第次都拿到绿皮鸭蛋的概率;
在第次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第次拿出绿皮鸭蛋的概率.
16.本小题分
已知等差数列与正项等比数列满足,且是和的等差中项.
求数列和的通项公式;
求数列的前项和;
设,记的前项和,求.
17.本小题分
在四棱锥中,底面是边长为的正方形,为的中点,二面角为直二面角.
求证:;
求直线与平面所成角的正弦值;
18.本小题分
已知动点其中到定点的距离比点到轴的距离大.
求点的轨迹的方程;
过椭圆的右顶点作直线交曲线于两点,其中为坐标原点
求证:;
设分别与椭圆相交于点,证明:原点到直线的距离为定值.
19.本小题分
已知函数.
当时,求曲线在点处的切线方程;
讨论的单调性.
参考答案
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15.解:设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件,第次拿到绿皮鸭蛋为事件,
则第次和第次都拿到绿皮鸭蛋为事件,
从个鸭蛋不放回地依次拿出个鸭蛋基本事件数为,

因为,
所以,
由可得,在第一次拿出绿皮鸭蛋的条件下,
第二次拿出绿皮鸭蛋的概率为.

16.解:设等差数列的公差,等比数列的公比为,
由可知:,所以,,,
又因为是与的等差中项,
所以,即,
所以.
因为,
所以.



得:.

17.解:因为,为的中点,
所以.
又因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面.
因为,,,所以.
取的中点,连接,则,
以点为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴,如图建立空间直角坐标系,
则,,,,,.
,,
因为,
所以.
设平面的一个法向量为,
则,即
解得,令,则,则.
设直线与平面所成的角为,
又,
则,
所以直线与平面所成的角的正弦值为.

18.解:设由题意,
两边平方,整理得:
所以所求点的轨迹方程为.
设过椭圆的右顶点的直线的方程为.
代入抛物线方程,得.
设,则


设,直线的方程为,
代入,得.
于是,.
从而
,.
代入,整理得.
原点到直线的距离为定值.

19.解:当时,,则,
从而,,
故所求切线方程为,即或
由题意可得.
当,即时,由,得或,由,得,
则在和上单调递增,在上单调递减;
当,即时,恒成立,则在上单调递增;
当,即时,由,得或,由,得,则在和上单调递增,在上单调递减.
综上,当时,在和上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
当时,在和上单调递增,在上单调递减.

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