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2024-2025学年广东省东莞市光正实验学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.书架上有本不同的理科类书籍，本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知离散型随机变量的分布列为
则等于( )
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数为，则( )
A. B. C. D.
4.某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，则抽到次品的概率是( )
A. B. C. D.
5.函数的单调递增区间是( )
A. B. 和
C. D.
6.某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖，若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
8.若函数在区间上存在最值，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.下列随机变量是离散型随机变量的是( )
A. 某景点一天的游客数 B. 某寻呼台一天内收到寻呼次数
C. 水文站观测到江水的水位数 D. 某收费站一天内通过的汽车车辆数
10.如下图是的导函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 在区间上单调递增
B. 是的极小值点；
C. 在区间上单调递增，在区间上单调递减
D. 在处取最大值
11.关于二项式的展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 展开式的所有二项式系数之和为
C. 展开式中不含项 D. 展开式的第项系数最大
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.计算 用数字作答．
13.已知随机变量服从二项分布，则 ， ．
14.已知，若函数有两个零点，则的取值范围为 区间或集合．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数，
求函数在点处的切线方程；
求函数的单调区间和极值．
16.在道题中有道理科题和道文科题，如果不放回的依次抽取道题，求：
第次抽到理科题的概率；
第次和第次都抽到理科题的概率；
在第次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的概率．
17.若，求：
求的值；
；
．
18.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，白粽个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取个，设表示取到的豆沙粽个数求
的分布列；
的期望与方差；
求至少取到一个豆沙粽的概率．
19.已知函数．
求的最小值；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
若是函数的极值点，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

14.
15.【详解】因为，则，所以，，
因此，函数在点处的切线方程为，即．
由，可得，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
所以，函数的减区间为、，增区间为，
该函数的极小值为，极大值为．

16.【详解】因为在道题中有道理课题和道文科题，
则第次抽到理科题的概率．
依题意可得第次和第次都抽到理科题的概率；
因为第次抽到理科题，此时还剩下道题，其中道理科题，道文科题，
故在第次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的概率．

17.【详解】令得．
令，则，
由知，
所以．
令，则
由知
由得，
．

18.【详解】的可能取值为
则，
所以的分布列如下：
由可知，
．
记“至少取到一个豆沙粽”记为事件，则表示“一个豆沙粽都没有取到”
则．

19.【详解】解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以．
解：由，其中
可得，即，
由对任意恒成立，即在恒成立，
令，可得，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即实数的取值范围为．
解：由，可得，
令，可得在上恒成立，
所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
因为是的极值点，所以存在使得，即，
又由，所以，
则，
所以．

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