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2024-2025学年山东省青岛第二中学分校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知直线为异面直线，为不重合的两个平面，则( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.已知向量、满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为( )
A. B. C. D.
5.已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
8.在直角梯形中，已知，点是边上的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列结论正确的是( )
A. 若为纯虚数，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则
10.已知的部分图象如图所示，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图像可由的图象向左平移个单位得到
C. 的对称轴为
D. 在区间上的最大值为
11.如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是( )
A. 在点运动过程中，直线与始终为异面直线
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知向量，，若，则 ．
14.已知的内角，，的对边分别为若为锐角三角形，，且，则周长的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
求的值；
记复数，求复数的模．
16.本小题分
如图所示，在三棱柱中，过的平面与上底面交于与不重合．
求证：；
若，，分别是，，的中点，求证：平面平面．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若，求的面积．
18.本小题分
已知向量，向量与向量的夹角为，且．
求向量的坐标；
设向量，向量，其中，若，试求的取值范围．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若，设点为的费马点，求；
设点为的费马点，，求实数的最小值．
参考答案
1.
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9.
10.
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14.
15.因为是关于的方程的一个根，
所以这个方程的另一个根是，
由韦达定理可知：，解得，所以；
由可得，
所以，
所以．

16.在三棱柱中，
平面平面，平面平面，平面平面，
故
在三棱柱中，
，，分别是，，的中点，
，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
又，平面，平面，
平面．
，平面
平面平面．

17.因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以．
因为，，
由余弦定理可得，整理得，
又，解得，
所以．

18.令，则
即，故或或；
，，；，；
因为，所以，令，
则，对称轴，又抛物线开口向下，
所以当时，取到最大值，当时，取到最小值，
所以

19.由，得，
故．
由正弦定理可得，故直角三角形，即．
由可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，
由，得，
整理得，
则．
如图，点为的费马点，则，
设，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立．
又，即有，解得或舍去，
故实数的最小值为．

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