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2024-2025学年山东省青岛第十七中学高一下学期期中阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点为，设是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量满足，，，则( )
A. B. C. D.
3.的内角所对的边分别为若，则( )
A. B. C. D.
4.如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为的正方形，则原四边形的面积是( )
A. B. C. D.
5.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等上述原理在中国被称为祖暅原理一个上底面边长为，下底面边长为，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
7.如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在正三棱柱中，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选下列命题正确的有( )
A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B. 若与共线，则，，三点在同一条直线上
C. 的充要条件是且
D. “若，，，是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
10.如图，正方体的棱长为，且，分别为，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 平面 B.
C. 直线与平面所成角为 D. 点到平面的距离为
11.已知三个内角的对边分别是，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.知，，，则在上的投影向量是 用坐标表示
13.如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和塔顶的仰角分别为，无人机距地面的高度为米，且在处无人机测得点的仰角为，点，，在同一条直线上，则该塔的高度为 米
14.已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求的值；
若，求实数的值；
若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知复数．
若是实数，求的值；
若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围；
若，求的值．
17.本小题分
如图，在长方体中，，，点为的中点．求证：
直线平面；
平面平面．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，且．
求；
若，求周长的最大值．
19.本小题分
如图，已知四面体中，平面，．
求证：；
若在此四面体中任取两条棱作为一组和视为同一组，则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组，则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组和视为同一组，则它们互相垂直的组数记为，试求的值；
九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点和点处，求彩带的最小长度．
参考答案
1.
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13.
14.
15.因为向量，且，
所以，解得，
所以．
因为，且，
所以，解得．
因为与的夹角是钝角，
则且与不共线，
即且，
所以且．

16.，
因为是实数，所以，解得．
因为，所以
解得，即的取值范围为．
因为，所以，
化简得，
解得或．

17.在长方体中，连接，分别是的中点，则，
又平面，平面，所以平面．
在长方体中，平面，平面，则，
在长方体中，，四边形为正方形，则，
又，平面，因此平面，又平面，
所以平面平面．

18.因为，
所以由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
因为，所以，则，
又，所以；
由余弦定理得，
即，
可得，当且仅当时等号成立，即，
所以，
即周长的最大值为．

19.由平面，平面，得，
又，，平面，因此平面，
而平面，所以．
由知：，，
且平面，平面，则，且其余各棱均不垂直，得；
由平面，且平面，平面，
得平面平面，平面平面，
同理由平面得：平面平面，且其余各面均不垂直，得；
由平面，平面，且其余各线面均不垂直，得，
所以．
将平面与平面沿展开成如图所示的平面图形，连接，
所以彩带的最小长度为图平面图中的长，
．
由知，
在图中，由平面，平面，得，
又，则，因此在图中，，
由余弦定理得，
所以彩带的最小长度为．

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