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2024-2025学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高一下学期5月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各角中，与角终边相同的是( )
A. B. C. D.
2.设与是两个不共线向量，且向量与共线，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
5.已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为的正三角形，则的面积为( )
A. B. C. D.
6.先将函数的图象向右平移个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
7.已知点，，向量，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式，正确的为( )
A. B.
C. D.
10.已知为坐标原点，设，则下列说法正确的是( )
A. 若且，则
B. 若单位向量，则
C. 若点在直线上，且，则点的坐标为
D. 若，则四边形为平行四边形
11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 关于点对称，
C. 的对称轴为直线，
D. 方程在内恰有个互不相等的实根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两个非零向量，，若，，，则 ．
13.密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用例如：狙击手在调整射击角度时，可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度．密位制的基本原理是将一个圆周分为等份，每一份称为密位．将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则最小值的密位数为 ．
14.如图，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型如图、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为 ．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，．
若，求；
若，求当为何值时，．
16.本小题分
已知函数
求的最小值；
若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心；
当时，的值域为，求的值．
17.本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点．

若点，求的值；
若，求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点分别是的中点．
求证：平面；
求直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
九章算术是我国古代数学成就的杰出代表其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．
按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差现有圆心角为，弦长等于米的弧田．
计算弧田的实际面积；
按照九章算术中弧田面积的经验公式计算所得结果与中计算的弧田实际面积相差多少平方米？结果保留两位小数
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题意，，
所以；
因为，即，
即，则，
由，
得，
解得，
所以当时，．

16.解：由题意可得：．
因为，所以的最小值为．
由平移变换知，
又因为，则，解得，
又因为，可得，所以，
令，对称轴为，
令，对称中心为
当时，则，此时的值域为，
因为，可知，
且，可得，
则，解得，可得
由可知，解得，
且，或，解得，或，所以的值为或．

17.解：因为是锐角，且在单位圆上，

所以，
所以．
因为，所以，
且，
所以，可得，且，
所以
．

18.解：证明：连接，如下图所示：
点是的中点，所以点是对角线的交点，
所以是的中点，是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
由，连接，如上图：
则或其补角即为异面直线与所成的角
由于平面平面，，，又
得，
所以，
因此，
所以直线与所成角的余弦值为．

19.试题解析：扇形半径，
扇形面积等于
弧田面积
圆心到弦的距离等于，所以矢长为按照上述弧田面积经验公式计算得
弦矢矢．
平方米
按照弧田面积经验公式计算结果比实际少平米．

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