资源简介

2024-2025学年湖北省荆州市成丰学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则它的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，，则的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
4.已知在中，，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.定义运算如下：设函数，则该函数的图象是( )
A. B. C. D.
7.若，当时，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.秦九韶年年，字道古，祖籍鲁郡今河南省范县，出生于普州今四川安岳县南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家年秦九韶完成了著作数书九章，其中的大衍求一术一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理、三斜求积术和秦九韶算法高次方程正根的数值求法是有世界意义的重要贡献．设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知奇函数在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上( )
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值
10.将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度得到的图象，则( )
A. 的图象关于直线对称
B. 函数的单调递增区间为
C. 在上恰有个零点
D. 在上有个最大值点，个最小值点
11.如图，甲船从出发以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里，下面结论正确的是( )
A. 乙船的行驶速度与甲船相同
B. 乙船的行驶速度是海里时
C. 甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时
D. 甲、乙两船不可能相遇
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则的值等于 ．
13.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
14.为庆祝我校建校周年，数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，复数，其中是虚数单位，为实数．
若，求的值；
若，
求的值；
若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆内接四边形为儿童娱乐设施建筑用地，．
求和
求儿童娱乐设施建筑用地的面积
若，，不动，在圆弧上取一点，使得儿童娱乐设施的新建筑用地的面积最大，并求出最大值．
17.本小题分
已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
求函数的解析式；
求函数的单调递增区间；
若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的取值范围．
18.本小题分
已知向量，函数．
求函数的解析式；
若，且，求的值；
已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，
若，
求；
若，设点为的费马点，求；
若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.
14.
15.解：当时，，
所以，
所以．
若，则，
所以，解得；
，，所以，
又在复平面内对应的点在第二象限，所以
解得，所以．
所以实数的取值范围为．

16.解：连接，由题意可得，
则
由余弦定理可得，
则
由可得，从而．
故四边形的面积为
．
由余弦定理可得．
由可得，
由余弦定理可得，则，当且仅当时取等号，
从而的面积．
由可知的面积为，
则儿童娱乐设施的新建筑用地的面积为．

17.解：，
由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，又，解得，
所以．
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
已知，由，得，
由正弦定理，得，
，
由是锐角三角形，有
得，则
所以
即面积的取值范围是．

18.解：因为，，函数，
所以
．
依题意，
因为，所以，而，
所以，
所以，
所以
；
将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
则，
假设的图象上存在点使得，
因为，
因为，
所以
，
令，
因为，所以，
当且仅当时取等，
所以存唯一解，此时，点，
综上，符合条件的点坐标为．

19.解：由正弦定理得，即，
所以，又，
所以；
由，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
；
因为，
所以，
所以，即，
所以或，
当时，，为直角三角形，
当，
则，
得，在三角形中不可能成立，
所以为的直角三角形，
因为点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或舍去，
故实数的最小值为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑