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2024-2025学年四川省射洪中学校高一下学期5月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.一个球的表面积是，则它的体积是( )
A. B. C. D.
3.设为两个非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知复数，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
5.已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.把函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知，，且满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，，则角的可能取值是( )
A. B. C. D.
10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 关于点中心对称
D. 函数在区间上有个零点
11.在边长为的正方形中，，在正方形含边内，满足，则下列结论正确的是( )
A. 若点在上时，则
B. 的取值范围为
C. 若点在上时，
D. 若，在线段上，且，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示为一个水平放置的矩形，在直角坐标系中，点的坐标为，则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中，顶点到轴的距离为 ．
13. ．
14.在锐角中，角的对边分别为，已知，点在上，是的平分线，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，长方体的底面是边长为的正方形，其体积为．
求三棱锥的体积；
求三棱锥的表面积．
16.本小题分
已知向量，．
若，求的坐标；
若，求与夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
求的单调增区间；
当时，求的值域．
18.本小题分
在中，角所对的边分别为，请从下列条件中选择一个条件作答：注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分
，，
求的大小；
若，且，求；
若为锐角三角形，求的取值范围．
19.本小题分
定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”其中为坐标原点记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
设，试求函数的相伴向量；
记向量的相伴函数为，求当且时，的值；
已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】，，
；
记三棱锥的表面积为，则，
几何体为长方体，
均为直角三角形，为等腰三角形，
，
，
，
，
．

16.【详解】由，设，，，
，或．
，，
，，
，．
设与的夹角为，则．
与的夹角的余弦值为．

17.【详解】因为，
所以，
解得：，
的单调增区间为；
，
，
即其值域为．

18.【详解】选：即，
由余弦定理得，又，
所以；
选：在中，由及正弦定理得，
则，又，于是，
而，解得，又，则，
所以；
选：在中，由及正弦定理得，
得，即，
由余弦定理得，又，
所以；
，
，
．
在中，由正弦定理得：
，
由知，即，由为锐角三角形，
得，即，于是，
所以，即的取值范围为，
所以．

19.【详解】因为
，
所以，函数的相伴向量．
向量的相伴函数，
令，即，
，，
，
．
的“相伴函数”，
因为在处取得最大值，
所以当，即时，有最大值，
所以，
所以，
因为，
所以
所以，
令，则，
因为均为上的单调递减函数，
所以在上单调递减，
所以
所以，
所以的取值范围为．

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