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2024-2025学年天津市崇化中学高一下学期5月期中阶段测试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点在第二象限，则复数对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，若与共线，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知两个不同的平面和两条不同的直线满足，则“平行”是“不相交”的( )
A. 充要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
7.如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则( )
A. B. C. D.
8.若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则( )
A. B. C. D.
9.已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体图，这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若，则复数的虚部为
12.已知在上的投影向量为，则的值为 ．
13.一圆台的母线长为，两底面的面积分别为和，则此圆台的体积为 ．
14.如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为 ．
15.如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知复数，且为纯虚数是的共轭复数．
求实数的值；
设复数，求；
复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知，，与的夹角是．
计算；
当为何值时，？
18.本小题分
在，角所对的边分别为，已知，．
求的值；
求的值；
求的值．
19.本小题分
如图：在正方体中，为的中点．
求三棱锥的体积；
求证：平面；
若为的中点，求证：平面平面．
20.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且有．
求角；
若的面积为，，求的周长．
参考答案
1.
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5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：因为，则，
所以，又为纯虚数，
所以，解得；
，
所以；
因为，
所以，
因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则
解得，所以实数的取值范围为．

17.解：，，与的夹角是，
则，
即有；
由
可得，即，
即，解得则当为时，；、
综上，，．

18.解：因为，由正弦定理可得，
，；
由余弦定理可得；
，，
，，
所以．

19.解：显然平面，于是．
设，连接，
在正方体中，四边形是正方形，是中点，
是的中点，，
平面平面
平面；
为的中点，为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
又平面平面平面，
由知平面平面平面，
平面平面．

20.解：在中，由及由正弦定理，
得，即，
整理得，而，则，
又，则，所以．
由余弦定理，得，
又，则，，解得，
所以的周长为．

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