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2024-2025学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.设向量则( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
3.某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由名裁判打分，统计结果为平均分分，方差为，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分分，一个最低分分，则( )
A. 平均分变大，方差变大 B. 平均分变小，方差变小
C. 平均分不变，方差变大 D. 平均分不变，方差变小
4.已知水平放置的的平面直观图是边长为的正三角形，那么的面积为( )
A. B. C. D.
5.设是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了株水稻，统计每株水稻的稻穗数单位：颗得到如图所示的频率分布直方图同一组中的数据用该组区间的中点值代表，则下列说法错误的是( )
A. B. 这株水稻的稻穗数的众数约为
C. 这株水稻的稻穗数的平均数约为 D. 这株水稻的稻穗数的中位数约为
7.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，，点在边上靠近点的三等分点处，则( )
A. B. C. D.
9.已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
10.山西应县木塔，始建于年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”某同学为了估算水塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为，在地面上点处，，在同一水平面上且三点共线测得木塔顶部，建筑物顶部的仰角分别为和，在处测得木塔顶部的仰角为，则可估算木塔的高度为 ．
A. B. C. D.
11.在中，满足，若对于边上任一点，恒有，则为( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
12.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，三棱柱外接球的球心为，点是侧棱上的一动点．下列说法正确的个数是( )
直线与直线是异面直线；
若，则与一定不垂直；
若，则三棱锥的体积为；
三棱柱外接球的表面积的最大值为．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.若复数为虚数单位是纯虚数，则实数 ．
14.已知，且，则 ．
15.某校学生高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人，现用分层随机抽样方法共选取名学生进行竞赛答题，已知高三年级选出名选手，则 ；选出的高三年级名选手分别答对题目数量为：，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 ．
16.已知一个圆锥的轴截面为等边三角形，底面积为，体积为，一个圆柱下底面积为，体积为，若圆锥和圆柱的侧面积相等，且，则的值是 ．
17.已知菱形的边长为，，沿将折起得到二面角当二面角为直二面角时，的长为 ；当三棱锥的体积为时，二面角的度数为 ．
18.在中，点是线段上任意一点不包含端点，点为线段的中点，，若，则的最小值为 ．
19.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
盛水的部分始终呈棱柱形．
水面所在四边形的面积为定值．
当容器倾斜如图所示时，为定值．
当容器倾斜如图所示时，为定值．
当容器倾斜如图所示时，当时，取最小值．
其中所有正确命题的序号是 ．
20.已知菱形的边长为，，点、分别在边、上，，，若，则的值为 ；若为线段上的动点，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.正方体中，，分别是，的中点．

求异面直线与所成角；
求证：平面
22.在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)若，求的面积．
23.如图，是的直径，，点是上的动点，平面，过点作，过点作，连接．
求证：；
求证：平面平面；
当为弧的中点时，直线与平面所成角为，求四棱锥的体积．
24.在中，角的对边分别为
求；
若，，且，边上的两条中线，相交于点，求的余弦值；
若为锐角三角形，，且外接圆圆心为，求和面积之差的最大值．
参考答案
1.
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16.
17.
或
18.
19.
20.
21.解：连接，，
因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，则或其补角为异面直线与所成的角，
在正方体中，可得，即为等边三角形，
所以，所以异面直线与所成角为；

取的中点，连接，，
因为，分别是，的中点，
所以，，
而，所以，
又因为平面，平面，平面，
平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．

22.解：由，去分母得，
利用正弦定理边化角得：，
由三角形内角和定理得：，
用两角和正弦公式得：，
整理得：，
因为，所以，
又因为，所以
由，结合正弦定理得：，
由，得，由于在三角形中，所以，则，
(ⅱ)又由已知得，代入，
可得，
又因为，代入可得，
即，
所以三角形面积．

23.解：由于为圆的直径，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以
由得，，，且平面，
所以平面，又由于平面，那么，
又因为，，平面，
所以平面，又由于平面，那么平面平面；
由可知：平面，而直线与平面所成角为，
那么，且，
所以且，
那么
在中，，得，
所以
那么，
，则．

24.解：由变形得：
，
再由正弦定理角化边得：，
再由余弦定理可得，即，
因为，则；
由正弦定理得：，
由于，所以，即，
根据内角和定理可得：，
再由正弦定理可得，
由余弦定理得：，
，
又由为三角形的重心，所以有，，
又由中位线可知，
再由余弦定理得：；
设三角形外接圆半径为，则有，
由圆的性质可知
由和面积之差为
，
当时，和面积之差取到最大值．
此时，仍满足锐解三角形条件．

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