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2024-2025学年天津市百华实验中学高一下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，是一平面图形的直观图，直角边，则的面积是( )
A. B. C. D.
2.在中，为边上的中线，为的中点则( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.下列命题中，正确的是( )
A. 四棱柱是平行六面体 B. 直平行六面体是长方体
C. 六个面都是矩形的六面体是长方体 D. 底面是矩形的四棱柱是长方体
5.已知非零向量，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是 ．
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
7.在中，若，则的形状是
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定
8.已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
9.在中，若，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若复数满足，则的虚部为 ．
11.在中，是的三边且满足，则角的大小为 ．
12.直角边为和的直角三角形绕边长为的直角边旋转形成圆锥，该圆锥的母线长等于 ，该圆锥的体积等于 ．
13.已知，且三点共线，则 ．
14.已知正方体的棱长为，除面外，该正方体其余器面的中心分别为点，，，，如图，则四棱锥的体积为 ．
15.如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且若，则 ；若，，，则 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知复数，．
若，求；
若为实数，求的值；
若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
17.在锐角中，角的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
18.已知向量．
若，求的值；
若，求实数的值；
若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点．
求证：；
求证：平面；
设与交于点，求证：平面平面
20.如图，在三棱柱中，侧棱垂直底面，各棱长均为，为的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值；
求证：平面平面．
参考答案
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14.
15.
16.解：当时，，所以；
因为，为实数，
所以，解得或．
复数，在复平面内对应的点为，
依题意可得，解得，即实数的取值范围为．

17.解：因为，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以；
由知：，又因为，，
由余弦定理，即，
解得，
所以面积为．
18.解：因为向量，且，
所以，解得，即，
所以．
因为，且，
所以，解得．
因为与的夹角是钝角，则且与不共线，
可得且，解得且，
所以实数的取值范围为．
19.解：因为平面，平面，
所以，又底面是矩形，则，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以．
取的中点，连接，，因为、分别是、的中点，
所以且，又且，
所以且，
则四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面；
因为为矩形，与交于点，
所以为的中点，且为的中点，
又、分别是、的中点，
所以，，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面．

20.解：设，连接，可知为的中点，
因为为的中点，则，
且平面，平面，所以平面．
因为，则异面直线与所成角为或其补角，
在中，由题意可知：，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
因为，且为的中点，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，则平面，
由平面，可知平面平面．

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