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2024-2025学年天津市静海区第四中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共16小题，每小题5分，共80分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为虚数单位，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是
A. B. C. D.
2.已知，，则“”是“复数是实数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形
4.已知复数，则( )
A. B. C. D.
5.在中，若，则是( )
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.已知棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.在中，，，，那么( )
A. B. C. D.
8.已知不共线向量，，，，若，，三点共线，则实数( )
A. B. C. D.
9.若的内角，，所对的边，，满足，且，则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
11.已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
12.在梯形中，，，将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
A. B. C. D.
13.设，，向量，，且，，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
14.设的三个内角，向量，，若，则( )
A. B. C. D.
15.小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
16.已知，点在线段上不包括端点，向量，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
17.已知，，是虚数单位．若，则 ．
18.已知点，，若中点为，，则点与两点间的距离为 ．
19.小明同学在吃完早餐以后，又在冷食店购买了某型号冰淇淋，其上半部分是面积为的半球形塑料盖，下半部分是高为圆锥形脆皮蛋卷桶，则下部脆皮蛋卷桶的面积为 ．
20.已知在中，，则 ．
21.在中，，，，设点满足，，，若，则 ．
22.在中，，，所对的边分别为，，，的面积为，且，，，则 ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.本小题分
复数，当实数取什么值时
为实数；
为纯虚数；
复数在复平面内对应点在第四象限．
24.本小题分
已知向量，，满足，，与的夹角为．
求的值；
若，求实数的值；
若，求实数的值．
25.本小题分
在中，，，所对的边分别为，，，已知，．
求的值；
求的值；
求的值．
26.本小题分
在中，，，所对的边分别为，，，已知，向量，，且．
求的值；
求周长的最大值；
若的平分线与边相交于点，，求的面积．
参考答案
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23.【详解】，
由为实数，则，解得或．
由为纯虚数，则，解得．
由复数在复平面上的对应点为，该点在第四象限，
则，分解因式可得，解得．

24.【详解】由已知可得，，
所以，
所以，．
易知，．
因为，
所以，，
即，解得．
因为，
所以，，使得，
整理可得．
由的任意性可知，
解得．

25.【详解】由已知结合正弦定理角化边可得，
又，所以，．
由结合余弦定理可得，．
又，
所以为锐角，
所以，．
由知，，，
所以，
，
所以，．

26.【详解】，，
由正弦定理，得．
又，，
由于，．
，，
由正弦定理，得，．
．
，，则．
当，时，，则．
故周长的最大值为．
根据余弦定理，
的平分线与边相交于点，，
所以，
所以的面积为，
所以，所以，所以，
所以或舍，
所以的面积为．

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