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2024-2025学年山东省淄博第五中学高一下学期期中阶段检测考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，与的夹角为，那么( )
A. B. C. D.
3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则( )
A. B. C. D.
5.的三个内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是( )
A. 等腰非直角三角形 B. 直角非等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6.若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则( )
A. B. C. D.
7.如图所示，棱柱的侧面是矩形，是上的动点，若平面，则的值为( )
A. B. C. D.
8.年蛇年春晚，电视剧新白娘子传奇两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度塔底视为点，塔顶视为点，在山脚下选取了两点，其中，，，四点在同一个铅垂平面内，在点处测得点的仰角为，在点处测得点，的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若互为共轭复数，则为实数
B. 对于复数，若，则
C. 若是关于的二次方程的根，则也是该方程的根
D. 复数满足，则的最大值为
10.下列结论正确的是( )
A. 由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B. 棱台各侧棱的延长线交于一点
C. 圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线
D. 各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
11.在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则( )
A. 平面
B. 若为对角线上的动点包含端点，则三棱锥的体积为定值
C. 棱锥的外接球的体积为
D. 若点为长方形内一点包含边界，且平面，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.如图，为水平放置的的直观图，其中，则的面积为 ．
14.如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点则的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的值；
若，，求的值．
16.本小题分
在中，，为边上一点，与相交于点，
若，求实数的值；
若，，，求的余弦值．
17.本小题分
如图所示，在四边形中，，，
求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积；
求四边形绕旋转一周所成几何体的体积．
18.本小题分
在中，设，，所对的边分别为，，，已知．
求角的值；
若，判断的形状；
若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面为的中点，为的中点．
证明：平面．
证明：平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
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12.
13.
14.
15.解：因为，
，
，
所以．
由，得，，
所以，
．

16.解：因为，故
又因为与共线，设，则，
由题意知，故，所以，实数的值为．
解法：因为，，所以，，
所以
，
，
，
所以；
解法：以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，，，，
所以，，，，
而，即为的中点，故，
，，
，
故，，
故．

17.解：由题意可知，四边形绕旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体，
过点作，垂足分别为，如下图所示：
易知，所以，
又，所以，可得；
故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，
母线长；高，母线长，
所以圆台的侧面积为，
圆锥的侧面积为，圆台的下底面面积为，
所以几何体的表面积为．
易知几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积，
即，
所以几何体的体积为．

18.解：，
由正弦定理得，
即，
即，
即，
由余弦定理得，
，
；
，
，
，
为等边三角形．
因为，
由正弦定理，得
所以
因为为锐角三角形，则，
从而
，
所以．

19.解：如图，连接，设与交于点，连接，
由题意可得，所以四边形为平行四边形，所以为的中点．
又因为为的中点，所以为的中位线，则．
因为平面平面，所以平面．
因为，所以．
因为平面平面，所以．
，平面，所以平面．
平面，所以．
因为为的中点，所以．
，平面，所以平面．
由得平面，所以即为直线与平面所成的角．
易得，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为．

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