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2024-2025学年安徽省怀宁县新安中学高二下学期第三阶段考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则( )
A. B. C. D.
2.若为一组从小到大排列的数，，，，，，的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是( )
A. B. C. D.
3.甲乙丙丁四名农业专家被派驻到，，三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到村的条件下，甲乙被派驻到同一个村的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数转换为十进制数的算法为若将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是( )
A. B. C. D.
7.对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲口袋中有个红球，个白球和个黑球，乙口袋中有个红球，个白球和个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. B. 事件与事件相互独立
C. D.
10.已知函数，直线与函数的图像有个不同的交点，个交点的横坐标分别为，则下列说法正确的有( )
A.
B. 过点作函数的切线，有且只有一条
C. 若，则有
D. 的值与无关
11.已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，，过两点分别作抛物线的切线，交于点下列说法正确的是( )
A. B. 为坐标原点的面积为
C. D. 点的纵坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 用数字作答．
13.已知，，，则的值为
14.已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人．
求这个人患流感的概率；
如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率．
16.本小题分
已知函数．
若函数的极值点在内，求的取值范围；
若有两个零点，求正实数的取值范围．
17.本小题分
记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列．
求的通项公式；
证明：．
18.本小题分
已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
求的方程；
记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于点证明：点在定直线上．
19.本小题分
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为由抽签确定第次投篮的人选，第次投篮的人是甲、乙的概率各为．
求第次投篮的人是乙的概率；
求第次投篮的人是甲的概率；
已知：若随机变量服从两点分布，且，则记前次即从第次到第次投篮中甲投篮的次数为，求．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，
记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，
则，且、、彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
．
由条件概率公式可得．

16.由，
则，
要使函数的极值点在内，
则在上有解，
即在上有解，则，解得，
即的取值范围为．
由，，
则，
因为，，令，得，
当时，，函数在单调递增，
当时，，函数在单调递减，
又时，，时，，
要使有两个零点，则恒成立，
设，则，
所以函数在上单调递增，又，
则，解得．
综上所述，取值的范围为．

17.，，，
又是公差为的等差数列，
，，
当时，，
，
整理得：，
即，
，
显然对于也成立，
的通项公式；

18.设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为．
由可得，设，
显然直线的斜率不为，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动．

19.记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
．
设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
因为，，
所以当时，，
故．

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