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安徽省百师联盟 2025届高三下学期５月二轮复习联考(三)
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.若复数 = 1+ ，则 的虚部是( )
A. 1 B. 12 C.
1
2 D. 1
2.已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 4 1 = 12， 5 2 = 3，则 5 =( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3.已知向量 = (2, 1)， = (4,3)，则向量 在向量 方向上的投影向量是( )
A. ( 4 , 35 5 ) B. (
3 , 4 ) C. ( 4 , 3 ) D. ( 35 5 5 5 5 ,
4
5 )
4.已知函数 ( ) = cos2 cos ，则函数 ( )在区间[0,2 ]上的零点个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 2.在高为 2 的正四棱台 1 1 1 1中， = 2， 1 1 = 1，则此四棱台的外接球的表面积是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6.记曲线 : 2 + 2 2| | 2| | = 0( 2 + 2 ≠ 0)，若直线 + + 1 = 0 与曲线 相切，则 =( )
A. ±4 B. ±2 C. ± 1 D. ± 14 2
7 tan20 + (1 + 3tan20 ) 3cos20
sin20
.计算： cos20 + 3sin20 =( )
A. 33 B. 3 C.
2 3
3 D. 1
8.已知函数 ( ) = | 2 | 2 ，当 > 0 时， ( ) ≤ 0，则 的取值范围是( )
A. ( ∞,0] B. ( ∞,8] C. [0,8] D. [0,4]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线 : 2 = 8 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，则下列说法正确的是( )
A.焦点 到抛物线 的准线的距离为 8
B. 1 1 1| |+ | | = 2
C.若 的中点的横坐标为 3，则| || | = 20
D.若 2| | = | |，则 △ = 4 2
10.已知函数 ( ) = 3 3 2 + 9 + ，则( )
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A. ∈ ，使得 ( )为单调函数
B. ∈ ， ( )的图象恒有对称中心
C.当 = 2 时， ( 2) > (5 + 4)
D.若 1， 2， 3是方程 ( ) = 0 的三个不同的根，则 1 2 + 1 3 + 2 3 = 9
11.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 60 ，∠ 的平分线 交 于 ， = 2，则
下列说法正确的是( )
A. 4 + 的最小值为 6 3
B. =
sin
sin
C. 1 +
1
的最大值是 3
D. △ 的周长的取值范围是[4 3, + ∞)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知数列{ }满足 +2 = 3 ， 1 = 1，则 9 = ．
13 ( ) =

.已知 + 是奇函数，则 + = ．
14.从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 3 个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个
数之和为 ;从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的两个数之和为 .
则 ( = ) = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某校有高一学生 1800 人，高二学生 1200 人，学校采取按比例分配的分层抽样的方式从中抽取 100 人进行
体育测试.测试后，统计得到高一样本的一分钟跳绳次数的均值为 165，方差为 61，高二样本的一分钟跳绳
次数的均值为 145，方差为 31．
(1)计算总样本的一分钟跳绳次数的均值和方差;
(2)将一分钟跳绳次数≥ 125 视为及格，整理出以下列联表：
及格不及格 合计
高一 52 8 60
高二 38 2 40
合计 90 10 100
试根据小概率值 = 0.05 的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关; (结果保留小数点
后三位)
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(3)如果将(2)表格中的所有数据都扩大为原来的 10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分钟
跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗 请你试着解释其中的原因．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 4)2 + 6ln .
(1)若曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线过点(0,9)，求 的值;
(2)求 ( )的极值点．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)，点 (2 3, 0)在椭圆 上.椭圆上关于原点对称的任意两个不与点 重合的
1
点 ， 和点 连线的斜率之积为 3．
(1)求椭圆 的方程;
(2)若一条斜率存在且不为 0 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且线段 的中点 的纵坐标为 1，过 作直线
′ ⊥ .定点 (2,1)到直线 ′的距离记为 ，求 的最大值并求出对应的直线 ′的方程．
18.(本小题 17 分)
如图，底面为正方形的四棱锥 中， = 2 = 2， = 5，记∠ = ， ∈ (0, ).
(1)证明：△ 为直角三角形;
(2)当四棱锥 的体积最大时，求平面 与平面 所成角的余弦值;
(3)记直线 与平面 所成角为 ，求 sin 的最大值．
19.(本小题 17 分)
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对于非空数集 ，定义 = {| || , ∈ }，若 = ，则称数集 具有性质 ．
(1)若数集 具有性质 ，证明：0 ∈ ;判断 1 = {0,1,2,3}， 2 = {0,1,2,5}是否具有性质 ，并说明理由．
(2)若 = { 1, 2, 3, , }( ≥ 3)满足 ① 1 = 0; ② ， ∈ ，当 < 时，都有 < ．
(ⅰ)判断“数集 具有性质 ”是否是“数列{ }为等差数列”的充要条件，并说明理由;
(ⅱ)已知数集 具有性质 且 = 10 2， ，求数集 具有性质 的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.81
13.1
14. 1518
15.解：(1)已知高一学生有 1 = 1800 人，高二学生有 2 = 1200 人，
抽取的高一学生人数 1和高二学生人数 2按比例分配，
总人数 = 1 + 2 = 1800 + 1200 = 3000 人，抽取 = 100 人，
1800
则抽取高一学生人数 1 = 3000 × 100 = 60 人，
1200
抽取高二学生人数 2 = 3000 × 100 = 40 人．
所以总样本的均值为：
= 60 40100 × 165 + 100 × 145 = 157．
60 40
方差为： 2 = 100 × (61 + 64) + 100 × (31 + 144) = 145．
(2)提出零假设 0:一分钟跳绳次数及格情况与年级无关．
已知 = 100， = 52， = 8， = 38， = 2，
2 = 100×(52×2 8×38)
2
可得： (52+8)×(38+2)×(52+38)×(8+2)
= 100×( 200)
2
60×40×90×10 ≈ 1.852．
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已知小概率值 = 0.05 时，临界值 0.05 = 3.841，
因为 2 ≈ 1.852 < 3.841，所以依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，
没有充分证据推断 0不成立，即认为一分钟跳绳次数及格情况与年级无关．
(3)将表格中所有数据都扩大为原来的 10 倍，则 = 1000， = 520， = 80， = 380， = 20，
2 = 1000×(520×20 80×380)
2
则 (520+80)×(380+20)×(520+380)×(80+20) ≈ 18.519，
因为 2 ≈ 18.519 > 3.841，所以依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，推断 0不成立，
即认为一分钟跳绳次数及格情况与年级有关．
所以 2统计量与样本容量 有关，当列联表中的数据都扩大为原来的 倍时，
2的值变为原来的 倍，在本题中数据扩大 10 倍， 2值增大，使得检验结果发生了变化．
16.解：(1)对 ( ) = ( 4)2 + 6ln 求导得 ′( ) = 2 ( 4) + 6 ，
计算 (1) = 9 ， ′(1) = 6 + 6，
切线方程为 9 = ( 6 + 6)( 1)，
把(0,9)代入得：9 9 = ( 6 + 6)(0 1)解得 = 1；
(2)由(1)知 = 1，则 ( ) = ( 4)2 + 6ln 定义域为(0, + ∞)，
2
′( ) = 2( 4) + 6 = 2 8 +6 2( 1)( 3) = ，
( ) = 0 2( 1)( 3)令 ′ 即 = 0，
因为 > 0，所以( 1)( 3) = 0 ，解得 = 1 或 = 3，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 1 < < 3 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 3 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( )的极大值为 (1) = (1 4)2 + 6ln1 = 9，极小值为 (3) = (3 4)2 + 6ln3 = 1 + 6ln3
17.解：(1)因为点 (2 3, 0)在椭圆 上.所以 = 2 3，
2 2
设 , ，则 , ， 2 = 2 1 2 2 = 1 12 ．
2 2
2 1

12 2
由 · =
1
3可得： 2 3 ·
1
2 3 = 2 12 = 2 12 = 12 = 3，
则 = 2，
2
2
所以椭圆 的方程为12 + 4 = 1．
(2)设直线 的方程为 = + ， 1, 1 , 2, 2 ，线段 的中点 ( 0, 1)，
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= +
由 2 2 消去 整理得： 1 + 3 2 2 + 6 + 3 2 12 = 0，
12 + 4 = 1
△= 36 2 2 4 1 + 3 2 ·3 2 4 > 0，即 12 2 2 + 4 > 0，
2
则 = 1+ 2 = 3 3 0 2 1+3 2， 1 = 0 + = 1+3 2 + = 1+3 2，
则 = 1 3 2，
所以 12 2 1 3 2 2 + 4 > 0，则 3 4 2 2 1 < 0，所以 2 1 3 2 + 1 < 0，
解得： 1 < < 1．
所以直线 的方程为 = 1 3 2． 3 , 1 ．
2 2
定点 (2,1)到直线 的距离为 ′ = 2 1 1 3 = 3 2 +2，
1+ 2 1+ 2
2 2 2
所以 2 = 2 ′2 = 3 2 2 + 22 3 2 +2 4 +41+ 2 = 2+1
2
令 = 4 +4 2+1 ， ∈ 1,1 ，
2 4
2+1 2 · 2 4 +4 2 2 2 +1
则 ′ =
2 2
=
2 2
，
+1 +1
因为 ∈ 1,1 ，所以 2 < 0，
1
当 ∈ 1, 2 时， ′ > 0， ( )为增函数；
1
当 ∈ 2 , 1 时， ′ < 0， ( )为减函数．
2 4 +4
所以 = 2+1 ， ∈ 1,1
1
，的最大值为 2 = 5，
2
2 = 2 2 = 3 2 2 + 22 3 2 +2
2
2 4 +4
故 ′ 1+ 2 = 2+1 的最大值为 5．
1 3
则 的最大值为 5，此时 = 2， 2 , 1 ．
所以直线 ′的斜率为 2，
3
所以直线 ′的方程为 + 1 = 2 + 2 ，即 2 + 2 = 0．
18.(1)证明：已知 = 2 = 2，则 = 1， = 2， = 5，
在△ 中， 2 + 2 = 12 + 22 = 5， 2 = ( 5)2 = 5，
所以 2 + 2 = 2，
根据勾股定理逆定理可得 ⊥ ，
因为底面 是正方形，所以 / / ， ⊥ ，则 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
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根据直线与平面垂直判定定理可知 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，所以△ 为直角三角形；
(2)解：因为四棱锥 的底面积 = × = 2 × 2 = 4(定值)，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ，
所以四棱锥 高 = sin ，
1 1
则四棱锥体积 = 3 × = 3 × 4 × 1 × sin =
4
3 sin ，
当 sin = 1 ，即 = 2时，体积 最大，此时 ⊥ ．
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,0,1)，
则平面 的法向量 1 = (1,0,0)，
设平面 的法向量 2 = ( , , )， = (2,0, 1)， = (0,2,0)，
2 = 2 = 0由 ，令 = 1，则 = 2， = 0，所以 = (1,0,2)，
2 = 2 = 0
2
设平面 与平面 所成角为 ，
cos = | 1· 2 | = |1×1+0×0+0×2| 5则 | |·| | = 5 ．1 2 12+02+02× 12+02+22
(3)由(2)知平面 ⊥平面 ，所以以 为原点，分别以 ， 所在直线为 ， 轴，以过 点垂直于平
面 的直线为 轴建立空间直角坐标系， cos , 0, sin ， ∈ (0, ).
设平面 的法向量 = ( 1, 1, 1)， = (2 cos , 0, sin )， = (0,2,0)，
= 2 cos · 1 sin 1 = 0
由 ,
= 2 1 = 0
令 1 = 1，则 1 =
2 cos
sin ， 1 = 0，
所以 = (1,0, 2 cos sin )，
又 = (2,2,0)
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2 cos
sin = |
|2×1+2×0+0× sin | 2
所以 |
| = =
|| | 2 2 2× 5 4cos ，
22+22× 1+0+ 2 cos sin2 sin
= 5 4cos = 5 4cos 设 sin2 1 cos2 ，
16 16
令 5 4cos = ，则 = = = 4
1 5
2 9+10 6+10 ，
4
= 3 1 = 当且仅当 ，即 cos = 2， 3时等号成立，
此时 sin 取得最大值 2．
4
19.解：(1)证明 0 ∈ :
因为 是非空数集且具有性质 ，即 = {| || , ∈ } = ，
那么存在 ， ∈ ，使得| | ∈ ，
令 = ，则| | = 0，所以 0 = | | ∈ ，
又因为 = ，所以 0 ∈ .
判断 1 = {0,1,2,3}:
1 = {| || , ∈ 1}，|0 1| = 1，|0 2| = 2，|0 3| = 3，|1 2| = 1，|1 3| = 2，|2 3| = 1，
1 = {0,1,2,3} = 1，所以 1具有性质 ．
判断 2 = {0,1,5}:
2 = {| || , ∈ 2}，|0 1| = 1，|0 5| = 5，|1 5| = 4，4 2， 2 ≠ 2，
所以 2不具有性质 ．
(2)( )若{ }是等差数列， 1 = 0，设公差为 ， > 0，则 = 1 ，
= {| || , ∈ } = {|( ) || , ∈ }，
所以 = ，所以数集 具有性质 ，
已知数集 具有性质 ， 1 = 0，
因为 0 ∈ ′ 是 中最大元素，所以 0 = ，
又因为 = ，那么 1也在 中．
由于 0 < 1 < ，且 中元素从小到大排列为 0 = 0 < 1 < < ，
所以 1 = 2，
同理 1 2 = 2 ， 2 1 = 2，
所以{ }是首项为 0，公差为 1的等差数列
所以“数集 具有性质 ″是“数列{ }为等差数列”的充要条件．
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( )因为数集 具有性质 且{ }是等差数列， 1 = 0，
设公差为 ， = 1 ，
又 = 10 2，即 1 = 10 ，
因为 > 0，所以 = 11， = {0, , 2 , , 10 }，
， 的非空子集个数为211 1 个．
要使 具有性质 ，设 = { 0, 1, , }， 0 = 0， 最大，且 1 = 1， ， 1 0 = 1，
即 中的元素成等差数列，
的元素个数 + 1 可以为 2，3， ，11，因为 0 一定在 中，所以
元素个数为 1 时，有 1 种;
元素个数为 2 时，有 10 种;
元素个数为 3 时，有 5 种; ;
元素个数为 4 时，有 3 种;
元素个数为 5 时，有 2 种．
元素个数为 6 时，有 2 种．
元素个数为 7 时，有 1 种．
元素个数为 8 时，有 1 种．
元素个数为 9 时，有 1 种．
元素个数为 10 时，有 1 种．
元素个数为 11 时，有 1 种．
满足 具有性质 的子集个数为 28 个．
所以数集 具有性质 = 28 28的概率 211 1 = 2047．
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