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山东省泰安市 2025 届高三四模检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 3 < < 2}， = { | < 1}，则 ∩ =( )
A. { | 3 < < 1} B. { |1 < < 2} C. { | 1 < < 1} D. { | 1 < < 2}
2.已知复数 的模为 10， (2 + ) > 0，则 的实部为( )
A. 1 B. 3 C. 3 D.
3 20.已知动点 从(1,0)出发，沿单位圆顺时针运动，经过 3 后落在角 的终边上，则 sin =( )
A. 32 B.
1 C. 12 2 D.
3
2
4.在一次随机试验中，三个事件 1， 2， 3发生的概率分别是 0.2，0.3，0.5，则下列选项正确的是( )
A. 1 + 2 + 3是必然事件
B. 1 + 2与 3是互斥事件，也是对立事件
C. ( 1 + 2) ≤ 0.5．
D. ( 2 + 3) = 0.8
5.与圆( 2)2 + 2 = 2 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )
A. 2 条 B. 3 条 C. 4 条 D. 6 条
6.已知圆台的上底面面积为 9 ，下底面周长为 12 ，母线长为 6，则圆台的体积为( )
A. (42 + 12 3) B. 42 C. 126 D. 63 3
7.已知 为坐标原点， 为抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点， 为抛物线 上任意一点(不与 重合)， 为
的中点，则直线 的斜率的取值范围是( )
A. [ 1,1] B. ( ∞, 1] ∪ [1, + ∞)
C. [ 12 ,
1
2 ] D. ( ∞, 2] ∪ [2, + ∞)
8.已知函数 ( ) = log2( + 2 + 1) + 3 + 3，则不等式 (3 + 8) + (2 ) ≥ 6 的解集为( )
A. ( ∞, 5] B. ( ∞, 32 ] C. [ 5, + ∞) D. [
3
2 , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 1若随机变量 服从两点分布，且 ( ) = 2，则 (2 ) = 1
B.数据 1，2，5，7，8，9，11，15 的上四分位数是 9
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C.若甲，乙两个模型的决定系数 2分别约为 0.95 和 0.8，则模型甲的拟合效果更好
D.对任意两个事件 与 ，如果 ( ) = ( ) ( )，则事件 与事件 相互独立
10.已知函数 ( ) = cos( + )( > 0, > 0, | | < 2 )， ， 是 ( )的图象与 轴的两个相邻交点， (
1 2
4 , 0)， 在 的右侧， 是 ， 之间(不含端点 ， )图象上的最高点.若
+ 2 = 0，△ 的面积
3
为 4 ，则下列选项正确的是( )
A. = B. ( 1 62 ) = 4
C.函数 ( )在(0, 1 ) 6 12 上单调递减 D.函数 = ( ) + 4 的零点之间的最小距离为2
11.已知数列{ }满足 +1 = ( 1)( 2) + 2
1
，且 1 = 3，数列{ }的前 项和为 ，则下列选项正确 1
的是( )
A. 4 = 42 B.数列{ }
1
单调递增 C. = 1 2 D. 2025 > 2
2024
+1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.数据 1，0，2，3，3，5 的方差为 ．
13.已知 (0,0,1) 1 2， ( 3 , 3 , 0)， (0,1,0)，则点 到直线 的距离为 ．
14.对于任意的非空数集 ，定义 ( ) = { ( )| , ≠ }，其中 ( )表示非空数集 中所有元素的乘
积，特别地，如果 = { }， ( ) = .若 = { 1, 2, 3, 4, 5}，其中 ( = 1,2,3,4,5)是正整数，则集合 ( )
中元素个数的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在斜三角形 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且(1 + tan )(1 + tan ) = 2．
(1)求角 ;
(2)若 = 3 10 1 2， 点满足 = + 3 3 ，且 ⊥ ，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
2 2
已知双曲线 : 2

2 = 1( > 0, > 0)的离心率为 2， 1、 2分别为双曲线的左、右焦点， 1到渐近线的距
离为 3．
(1)求双曲线 的方程;
(2)设过点 2的直线 与双曲线右支交于 ， 两点，求 1 1的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
某校依托 技术搭建了智慧题库系统，形成了“ 基础筑根— 应用提能— 创新选才”三层动态题库，设
该题库中任意一道题被选到的可能性都相同，且 ， ， 三层题量之比为 5: 3: 2．
(1)现有 3 人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道作答，求这 3 人中至少有 2 人的选
题来自 层的概率;
(2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组系统从该题库中选取 10 道题，进行复赛.参赛选手将有机会回
答 ， ， 层题目各 1 题; ， 层题目答对得 5 分， 层题目答对得 10 分，答错得 0 分，选手可自行选择
回答问题的顺序，若答对一题可继续答，直到 3 题全部答完;若答错则比赛结束.例如：选手甲可自行按“
”顺序答题，甲答对第一题得 5 分，并继续回答第二题且答错得 0 分，比赛结束，总分为 5 分.某同
4 1
学参加复赛，他答对 ， 层题目的概率为5，答对 层题目的概率为5，每次答题的结果都相互独立，该同学
应该用怎样的顺序答题使得分的数学期望更高 请说明理由．
18.(本小题 17 分)
已知正四棱柱 1 1 1 1中， ， 分别为 1， 的中点， 为 ， 的交点．
(1)证明：平面 1 1//平面 ;
(2)若 1 = 2 3， = 7， 为 中点， 为 1 1中点，如图， 是以 为直径的半圆弧， 为 上任
意一点(不包括 ， 两点)，求平面 与平面 夹角的余弦值的取值范围．
19.(本小题 17 分)
( ) = ln 已知函数 ．
(1)求函数 ( )最大值;
(2)若 ( ) = ( )，直线 为曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线．
(ⅰ)当 = 0 时，求直线 的方程;
(ⅱ)若直线 与曲线 = ( )相交于点( , ( ))，且 > ，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13. 62
14.11
15.解：(1) ∵ (1 + tan )(1 + tan ) = 2，
∴ tan + tan = 1 tan tan ，
∴ tan = tan( ( + )) = tan( + ) = tan +tan 1 tan tan = 1，
∵ ∈ (0, ) ∴ = 3 4；
(2) ∵ = 1 + 2 ∴ = 2 3 3
，即 为 边上靠近 的三等分点，
∴ = 2 10， = 10，
∵ ⊥ ∴ ∠ = ∠ = 2， 4，
设∠ = ，则∠ = ，
在△ ，△ 中，由正弦定理，

sin =2 sin
，

sin =4 sin( )
= sin ，
∴ = 2 10sin ， = 20sin ，
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∴ = 2 ，
△ 2 = 2 + 2 2 cos 3 在 中，由余弦定理 4，
∴ 90 = 2 + 2 2 2 × 2 × ( 22 )，
即 5 2 = 90 ∴ 2 = 18， = 3 2， = 6，
∴ 1△ = 2 sin =
1
2 × 3 2 × 6 ×
2
2 = 9
16.解：(1) ∵ 双曲线的离心率为 2 ∴ = 2，即 = 2
又点 1到渐近线的距离为 3
∴ = 3
∵ 2 = 2 + 2 ∴ 2 = 1
2
∴ 双曲线的方程为 2 3 = 1．
(2)当直线 斜率存在时，设 方程为 = ( 2)
2
2 3 = 1由 得(3 2) 2 + 4 2 4 2 3 = 0
= ( 2)
2 2
设 ( 1, 1) ( , ) + =
4 4 +3
， 2 2 则 1 2 2 3， 1 2 = 2 3
> 0
由 21 + 2 > 0，解得 > 3
1 2 > 0
7
2 9
1 1 = ( 2 1, 1)( 2 2, 2) = 4 + 2( 21 + 2) + 1 2 + ( 1 2)( 2 2) = 2 3
12
= 7 + 2 > 7 3
当直线 斜率不存在时， 1 = 2 = 2， 1 = 3， 2 = 3
∴ 1 = ( 4, 3)， 1 = ( 4,3)(或 1 = ( 4,3)， 1 = ( 4, 3))
∴ 1 1 = 7
综上， 1 1 ≥ 7.
17.解：(1)设 3 3人中恰有 人的选题来自 层，则则 ∽ (3, 10 )，
设 3 人中至少有 2 人的选题来自 层为事件 ，
∴ ( ) = ( = 2) + ( = 3)
= 23(
3 2 7 3 3
10 ) 10 + 3( 10 )
3( 7 0 2710 ) = 125 (或 0.216)，
∴ 27这 3 人中至少 2 人的选题来自 层的概率为125．
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(2)设第 道题得分为 ，第 道题答对的概率为 ，
则 = 1 16，2，3， 1 + 2 + 3 = 20， 1 2 3 = 125，
设得分为 ，则 = 0， 1， 1 + 2， 1 + 2 + 3，
则 ( = 0) = 1 1，
( = 1) = 1(1 2)
( = 1 + 2) = 1 2(1 3)，
( = 1 + 2 + 3) = 1 2 3，
∴ 的分布列为
0 1 1 + 2 1 + 2 + 3

1 1 2(11 1(1 2) ) 1 2 33
∴ ( ) = 0 × (1 1) + 1 1(1 2) + ( 1 + 2) 1 2(1 3) + ( 1 + 2 + 3) 1 2 3
16
= 0 + 1 1(1 2) + ( 1 + 2) 1 2(1 3) + 20 × 125
= 6425 + 1 1(1 2) + ( 1 + 2) 1 2(1 3)，
设将 层题目放在第 题时的得分为 ， = 1，2，3，
( ) = 64 + 10 × 1 × 1 + 15 × 1 × 4 × 1 = 86则 1 25 5 5 5 5 5 25 = 3.44，
( 2) =
64 + 5 × 4 4 4 1 1 15625 5 × 5 + 15 × 5 × 5 × 5 = 25 = 6.24，
( ) = 64 + 5 × 4 × 1 + 10 × 4 × 4 × 4 = 2123 25 5 5 5 5 5 25 = 8.48，
因为 ( 3) > ( 2) > ( 1)，
故从得分的数学期望更高的角度考虑，该同学应先回答 ， 层的题目，再回答 层题目，即按 → →
或 → → 的顺序答题．
18.证明：(1) ∵正四棱柱底面 为正方形
∴ 为 ， 中点，
∵ 为 1中点
∴ // 1
∵ 1 平面 ， 平面 ，
∴ 1 //平面
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∵ ， 分别为 ， 中点
∴ //
又 1 1//
∴ // 1 1
∵ 1 1 平面 ， 平面
∴ 1 1/ /平面
∵ 1 ， 1 1 平面 1 1， 1 ∩ 1 1 = 1
∴平面 1 1//平面
(2) ∵ 为 中点， 1 ⊥底面
∴ 1 ⊥
∴ 2 = 2 2 = 4
∴ = 2， = = 4
由题意， // 1 =
∴四边形 1 为平行四边形
∴ // 1， = 1 = 2 3
∴ ⊥底面
以 为原点， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则 (0,2,0)， (0,0,2 3)设 ( 0, , 0)则 20 0 = 4 20， 0 ∈ ( 2,2)
∴ = ( 0, 0 2,0)， = (0, 2,2 3)
设平面 的一个法向量为 1 = ( , , )
1 = 0 + ( ∴ 0 2) = 0 取 = 1 = 3 =
3(2 0)，则 ，
= 2 + 2 3 = 0 1 0
3(2 )
∴ 01 = ( , 3, 1)0
又平面 的一个法向量是 2 = (0,0,1)
设平面 与平面 夹角为
| 0|
∴ cos = |cos < ， 2 > | =1 3(2 0)2+4 20
2
∴ cos2 = 0
4 ( 0 2)( 0 +2) 0 +2 12
2 = 0 +12 0 28 ( 0 2)( 0 +14)
= 0 +14
= 1 0 +14
∵ 0 ∈ ( 2,2)
12 3
∴ 0 +14
∈ (4 , 1)
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1
∴ cos2 ∈ (0,4 )
∵ cos > 0，
1
∴ cos ∈ (0,2 )
19. 1 ln 解：(1) ( )定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 2 ，
由 ′( ) = 0，得 = ，
∴当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增;当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
∴ ( ) ( ) = 1最大值为 ；
(2) ∵ ( ) = ( ) = ，定义域为 ，
∴ ( ) = 1 1 ′ ，∴切线 斜率 = ′( ) = ，
∴切线 的方程为 ( ) = ′( )( )；
( )当 = 0 时， ( ) = 0， ′( ) = 1，∴切线 的方程为 = ；
2
( ) ∵ 1 的方程为 = ( ) =
1 + ，即 ，
1 2 1 1
令 ( ) = 则 ( ) = 0， ′( ) = ，∴ ′( ) = 0，
记 ′( ) = ( ) 2则 ′( ) = ， ′(2) = 0，
∴ ∈ ( ∞,2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减; ∈ (2, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增;
若 ≤ 2，则当 ∈ ( ∞, )时， ′( )单调递减，
∴ ′( ) > ′( ) = 0，∴ ( )在( ∞, )上单调递增又 ( ) = 0，
∴ ( )在( ∞, )上无零点，不合题意;
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若 > 2 1 1，则 > 2，
∴当 ∈ ( ∞,2) 1 1 时， ′(2) = 2 < 0，
又 ′(1) = 1 > 0，∴ ′(1) ′(2) < 0，
由零点存在定理存在 0 ∈ (1,2)，使得 ′( 0) = 0 且 ∈ (1, 0)时， ′( ) > 0， ( )单调递增 ∈ ( 0, )
时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
2
∴ ( 0) > ( ) = 0

，∵ (0) = < 0，∴ (0) ( 0) < 0，
由零点存在定理存在 ∈ (0, 0)，使得 ( ) = ( ) = 0，且 < 0 < ，
综上所述， ∈ (2, + ∞)
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