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金太阳联考 2025 届高三下学期 5 月三模
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 2 > 10}，则集合 的元素个数为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
2.( 7 )7的展开式中含 6 的项的系数为
A. 49 B. 7 C. 1 D. 49
3.直线 ： 3 2 + 5 = 0 截圆 ： 2 + 2 = 9 所得的弦长为
A. 2 B. 4 C. 2 5 D. 5
4.若函数 ( ) = 3 + 在(0,1)上有零点，则 的取值范围为
A. (1,4) B. ( 4,0) C. (0,4) D. ( ∞,4)
5.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， . 2 若 = 3， 为 边上的点，且∠ = 2， = 8，
= 4，则 =
A. 4 B. 4 3 C. 3 D. 2 3
6 500 .已知某圆锥的外接球的体积为 3 ，若球心到该圆锥底面的距离为 4，则该圆锥体积的最大值为
A. 9 B. 27 C. 18 D. 48
7.已知定义在 上的函数 ( )满足对任意的 ， ∈ ， ( + ( )) = ( ( ))， (0) = 1，则 (1) =
A. 2 B. 0 C. 2 D. 1
8.正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如
首饰盒、古建筑的窗户、古井口等．已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正
六边形内部(包括边界)的动点，则 的最大值为
A. 12 B. 16 C. 18 D. 20
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 满足| | = 6，则下列结论正确的是
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A. 可能为 1 6 B. = 6
C. 的实部与虚部之积不大于 3 D. 在复平面内对应的点可能是(2, 2)
10.已知△ 的顶点均在抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上，且△ 的重心为抛物线 的焦点 .若| | +
| | + | | = 1 24 ，则
A. = 12
B. △ 的周长小于 72
C. △ 的三个顶点到 轴的距离之和为 36
D. 1上一动点 到直线 5 12 13 = 0 的距离的最小值为26
11.已知函数 ( ) = 3 2 + 2 有两个极值点 ， ( < )，则下列结论正确的是
A. < 0 B. + > 0
C. ( ) + ( ) < 0 D.若 ∈ ，| ( + 1) ( )| < 1，则 的取值范围为(0,12)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12 +
2
.椭圆 ：16 11 = 1 的离心率为 ．
13.函数 = sin6 + 3cos6 在 0, 18 上的值域为 ．
14 1.在正四棱柱 1 1 1 1中， = 2， 1 = 4， = 4 1， 是正四棱柱内(含表面)的动点，且
⊥ ，则点 在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某学校为了了解高三年级的学生参加户外拓展意愿的情况，随机抽取了 50 位高三学生进行问卷调查，其中
参加户外拓展的意愿分 3 种情况，每种情况对应的人数如下表所示：
意愿情况 非常期待 无所谓 不愿意
人数 30 15 5
(1)若从样本中随机抽取 2 位学生，求所抽取的 2 位学生意愿情况不同的概率．
(2)用样本估计总体，以频率代替概率．若从高三年级所有学生中随机抽取 2 位学生，记所抽取的学生意愿
情况为非常期待的人数为 ，求 的分布列与数学期望．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱台 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， = 2 1 1 = 4， = 3， 为 1的中点， 1 ⊥平面
．
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(1)证明： ⊥ ．
(2)求 1的长．
(3)求平面 与平面 1 夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln 2 + ， ∈ ．
(1)若 = 1，求曲线 = ( )在点(1, 1)处的切线方程；
(2)若 > 0， ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，焦距为 2 6，虚轴长为 2 2，左、
右顶点分别为 ， ． 为直线 ： = 1 上一点，直线 与直线 分别与 交于另一点 ， (不与 ， 重合)，
设直线 的方程为 = + ．
(1)求 的标准方程．
(2)证明：2 2 + 2 4 > 0 且 2 ≠ 2．
(3)试问直线 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知数列{ }满足 3 2 2 +1 +1 = 6 × 7 +1 + 1 +1，且 1 = 7.若整数 能被正整数 整除，则
称 为 的一个正约数．设 的正约数个数为 ，将这 个正约数从小到大排成一排，分别为 0， 1， 2，…，
1．
(1)证明：{ +1 }是等比数列．
(2)证明： 为定值．
(3)在 和 +1之间插入 ( = 1,2,3, …, 1, ≥ 2)个数 1， 2，…， ，使 ， 1， 2，…， ， +1成等差
数列．
①当 ≥ 2 时，求 1 = 11 + 21 + 22 + … + ( 1)1 + ( 1)2 + … + ( 1)( 1)．
②在①的前提下，是否存在正整数 ， ，使得( 2 + 13 4 ) 1 = 840( ≥ 2)？若存在，求出所有的正整
数对( , )；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 54
13.[ 3, 2]
14.4 5
15.解:(1)记事件 A 为“所抽取的 2位学生意愿情况不同”,
2 + 2 + 2
则 P(A)=1-P( )=1- 30 15 5 27 2 =50 49
,
故所抽取的 2 27位学生意愿情况不同的概率为49；
(2)X 的可能取值为 0,1,2.
设事件 B 为“所抽取的学生意愿情况为非常期待”,则 P(B)=3050=
3
5,
则 X~B(2,35).
P(X=0)=(1 3 2 4 1 3 3 12 2 3 2 95 ) =25,P(X=1)= 2 × 5 ×(1-5)=25,P(X=2)= 2 × ( 5 ) =25,
所以 X 的分布列为
因为 X~B(2,35),所以 E(X)=2×
3
5=
6
5.
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16.解：(1)证明：因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，所以 1 ⊥ ．
因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，所以 1 ⊥ ．
因为 = 2 1 1， 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，所以 1与 1相交，
所以 ⊥平面 1 1．
因为 平面 1 1，所以 ⊥ ．
(2)解：连接 1.因为 1 ⊥平面 ，所以 1 ⊥ ，
又 为 1的中点，所以△ 1 是等腰三角形，所以 1 = = 4．
因为 1 1 = 2， 1 ⊥ 1 1，所以 1 = 16 4 = 2 3．
(3)解：以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
(0,0,0)， 1(
3
2 , 0,2 3)， (0,3, 3)， 1(0,2,2 3)， (0,4,0)，
则 31 = ( 2 , 0,2 3)， = (0,3, 3).
由(1)易得 1 = (0, 2,2 3)是平面 的一个法向量.
3
= ( , , ) 1
= 2 + 2 3 = 0,设平面 1 的法向量为 ，则 取 = (4,1, 3)，
= 3 + 3 = 0,
|cos < 1， > | =
| 2 6| 5
，
4+12× 16+1+3 = 5
所以平面 与平面 1 夹角的余弦值为
5．
5
17.解：(1)由题意得 ( ) = ln 2 + 1，则 ′( ) = ln + 1 2 = ln 1，
得所求切线的斜率为 ′(1) = 1，
所以曲线 = ( )在点(1, 1)处的切线方程为 + 1 = ( 1)，即 + = 0；
(2)(方法一) ( )的定义域为(0, + ∞)，
′( ) = ln + 1 2 = ln + 2．
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2
当 ln + 2 < 0，即 ∈ (0, 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减;
2
当 ln + 2 > 0，即 ∈ ( 1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增．
2 2 1 2 ( ) = 1 ( ) = 1( 2
2
所以 在 处取得最小值，最小值为 1) 2 1
2
+ = (1 1 ).
2 2
因为 ( ) ≥ 0 恒成立，所以 (1 1) ≥ 0，因为 > 0，所以 1 1 ≥ 0，
2
即 1 ≤ 0，解得 ≥ 2，
故 的取值范围为[2, + ∞).
( 1方法二)易证 1 + ln ≥ 1 > 0．
( ) ≥ 0 ≥ 2 由 ，得 1+ ln ．
2 2 2
设 ( ) = 1+ ln ，则 ′( ) = (1+ ln )2，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，当 > 1 时， ′( ) < 0，
所以 ( )max = (1) = 2，
所以 ≥ 2，
故 的取值范围为[2, + ∞).
18.(1)解：根据题意可得 = 6， = 2，
所以 = 6 2 = 2，
2 2
故 C 的标准方程为 4 2 = 1．
2 2
(2)证明：由题可得直线 的斜率不为零.联立 4 2 = 1,
= + ,
得( 2 2) 2 + 2 + 2 4 = 0， 则 2 2 ≠ 0，得 2 ≠ 2.
由△= 4 2 2 4( 2 2)( 2 4) > 0，得 2 2 + 2 4 > 0．
2
(3) 2 4解：设 ( 1, 1)， ( 2, 2).由(2)得 1 + 2 = 2 2， 1 2 = 2 2
由题意易得直线 与直线 的斜率均存在，且 ( 2,0)， (2,0).设 (1, 0)( 0 ≠ 0)．

因为 ， ， 三点共线，所以 = ，即 1 0 1+2
= 3． ①
因为 ， ， 三点共线，所以 2 = ，即 2 = 0， ②2
① 1( 2 2) 1
②得 2(
= ．
1+2) 3
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21
2
由 14 2 = 1，得
2 = 1 21 2 ( 1 4)，
1
1( 2
2
2 2) = 1( 2 2) 2
( 1 4)( = 2
2)
= ( 1 2)( 2 2) = ( 1+ 2)( 2+ 2) 1所以 2( +2) ( +2) ( +2) 2
= ，
1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3
即 3( 1 + 2)( 2 + 2) = 2 1 2，
即(3 2 + 2) 1 2 + 3 ( 2)( 1 + 2) + 3( 2)2 = 0，
2
(3 2 + 2) 4 2 2 + 3 ( 2)(
2 2
2 2 ) + 3( 2) = 0，
(3 2 + 2)( 2 4) + 3 ( 2)( 2 ) + 3( 2 2)( 2)2 = 0．
因为 ， 不与 ， 重合，所以 ≠± 2，所以(3 2 + 2)( + 2) + 3 ( 2 ) + 3( 2 2)( 2) = 0，
即 4 + 16 = 0，得 = 4，
直线 的方程为 = + 4，故直线 过定点，且定点坐标为(4,0)．
19.解：(1)证明：由 3 2 = 6 × 7 2 +1 +1 ( +1 + 1) +1，
得 2 +1( +1 ) + ( ) 6 × 7 ( 2 +1 +1 + 1) = 0，
即( 2 +1 + 1)( +1 6 × 7 ) = 0．
因为 2 +1 + 1 > 0，
所以 +1 = 6 × 7 ，
+2 +1 6×7 +1所以 = 6×7 = 7， 2 1 = 42， +1
故{ +1 }是首项为 42，公比为 7 的等比数列．
1
(2)证明：由(1)得 1 + 1 2 + + 2 1 = 6(7 1 + 7 2 + + 71) = 6 ×
7(1 7 )
1 7 = 7

7，
所以 = 7 7 + 7 = 7 ．
整数 = 7 ( ∈ )的所有正约数为70，7，72， ，7 ，共 + 1 个，则 = + 1．
故 = 1，为定值．
+1
(3) 7 7 6×7解： ①设公差为 ，则 = +1 ( +2) 1 = +1 = +1，
6×7
则 = + = 7 + +1 ( = 1,2,3, , )，
1 = 11 + 21 + 22 + + ( 1)1 + ( 1)2 + + ( 1)( 1) = 4[7 + 2 × 72 + + ( 1) × 7 1]，
7 2 3 1 = 4[7 + 2 × 7 + + ( 1) × 7 ]，
1
则 6 1 = 4[7 + 72 + 73 + + 7 1 ( 1) × 7 ] = 4[
7(1 7 ) ( 1) × 7 ] = ( 141 7 3 4 ) × 7
143，
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所以 2 7 1 = ( 3 9 ) × 7 +
7
9．
②假设存在正整数 ， ，使得( 2 + 13 4 ) 1 = 840 成立．
由( 2 + 13 4 ) = 840 840 1 ，得 2 = 1 + 4 13．
当 = 2 840时， 2 = 28 + 4 × 2 13 = 25，此时 = 5 ∈
;
= 3 2 = 840当 时， 420 + 4 × 3 13 = 1，此时 = 1 ∈
;
当 ≥ 4 时， 1 > 840
840 2 = 840， ，此时 + 4 13
，不符合题意．
1 1
故所有的正整数对( , )为(5,2)和(1,3)
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