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河南省TOP二十名校2025届高三猜题大联考数学试题
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则
A. B.
C. D.
2.已知平面向量，，则
A. B. C. D.
3.设甲：；乙：，则甲是乙的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若把满足的正整数组称为“勾股平方数组”，则在不大于的正整数中随机选取个不同的数，能组成“勾股平方数组”的概率为
A. B. C. D.
5.棱长均为的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为
A. B. C. D.
6.已知首项为的等比数列的前项和为，若也为等比数列，则的公比为
A. B. C. D.
7.已知，，则
A. B. C. D.
8.过双曲线：右支上的点作的切线，，分别为的左、右焦点，为切线上的一点，且为坐标原点若，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记为数列的前项和，且，，则
A. B. C. D.
10.已知关于复数的方程组有且仅有一个复数解，则的值可能是
A. B. C. D.
11.已知函数，，则
A. 与的值域相同 B. 与的值域相同
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆：的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为 ．
13.曲线的对称中心的坐标为 ．
14.现有各项均为正整数的递增数列，，，，，，，，若从中任取项构成的递增数列都不是等差数列，则有序数对的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．
求的准线方程；
设为准线上一点，且求
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
证明：；
若边上的中线长为，求的最大值．
17.本小题分
如图，四棱锥中，，，且．
当平面平面时，证明：平面平面；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知平面内有个红点、个蓝点、个黄点，这个点中任意两点都不重合．
在颜色不同的任意两点之间连接一条线段，颜色相同的两点之间不连接线段，直接写出连接线段条数的最大值；
若个点中任意三点都不共线，在所有互异的点之间连线，端点颜色相同的线段赋值，端点颜色不同的线段赋值．
(ⅰ)记每条线段的赋值为随机变量，在所有线段中任取一条线段，按两个端点的颜色进行分类端点无序，求的分布列及数学期望；
(ⅱ)从个点中任取三个点构成三角形，记构成的三角形三边的赋值之和的数学期望为，证明：．
19.本小题分
若集合，满足：，，且，，则称，互为对偶集．已知函数，定义，
当，时，证明：，；
证明：存在，使得无论取何值，与均互为对偶集；
若，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为．
因为在的准线上，所以，即，易得的坐标为，此时，
因为，所以，解得，所以的方程为，
设，，联立消去并整理得，
由韦达定理得，所以．
16.证明：由余弦定理，得，故，即
由正弦定理可得，又，
故，即．
解：设为的中点，则有两边平方有
即故，即，当且仅当时等号成立，故的最大值为．
17.证明：因为平面平面，且平面平面，，平面，可得平面，
又，平面，故AB，，又，所以．
由，，得，，，．
如图，取中点，连接，，有，，又，，所以，故B．
因为，，，平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面．
解：取中点，以为原点，为轴，过且平行于的直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，为的中点，所以，在平面内．
可设，，可得，，，，，，
因为，所以，即，解得，得，
，，，设平面与平面的法向量分别为，，
由题意可得即可取，同理可得，
设平面与平面的夹角为，故，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：红蓝、蓝黄、黄红三对里，每对中两种颜色均有个点，则当个点中任意三点都不共线时，连接线段条数取最大值．
解：端点颜色的所有可能情况为红蓝、蓝黄、黄红、红红、蓝蓝、黄黄，端点颜色相同的线段有条，端点颜色不同的线段有条，线段总条数为
则，，的分布列为：
数学期望．
证明：共有三种可能，当三个同色点构成三角形时，赋值和为，有种可能，
当两个同色点和一个异色点构成三角形时，赋值和为，有种可能，
当三个异色点构成三角形时，赋值和为，有种可能，从个点中任取三个点，共有种可能，
则，
，因为，所以，，即．
19.证明：由题意知，，
则，
因此在上单调递减．
，
，
又，故
证明：不难发现，，
取，下证与互为对偶集，
，则，即，
由定义知，
同理可知，，．
故当时，与互为对偶集
构造函数，则，即的充分必要条件为，
若，又，由于的图象在上连续不断，
故，使得，则与矛盾，
因此，代入解得．
若，则，不符合题意，舍去．
若，此时在上恒成立，
此时在上单调递增，则在上单调递增，
又，所以在上恒成立，符合题意．
综上，的取值范围为

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