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河北省沧衡联盟2025届高三下学期5月模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数为虚数单位对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
4.假定风力等级与风速的关系满足方程：其中为风速，单位：，为风力等级，年月日，河北省气象部门发布大风预警，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为注：
A. 级 B. 级 C. 级 D. 级
5.已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为( )
A. B. 或 C. D.
6.已知函数在区间上恰好有个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两人进行投篮比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，若第一次由甲开始投篮，则第五次是乙投篮的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的上焦点为，右顶点为，斜率为的直线交椭圆于、两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为( )
A. 或 B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某次花样滑冰比赛的计分规则如下：共有名裁判进行打分，打分后，再去掉一个最高分与一个最低分，取剩余的个分数的平均值作为该选手的成绩比较去掉分数前、后两组数据的数字特征，下列可能变小的是( )
A. 中位数 B. 极差 C. 平均数 D. 方差
10.已知正方体的棱长为，点、在四边形所在的平面内，若，且，则下列结论正确的是( )
A. 异面直线与所成角的正弦值为
B. 二面角的余弦值为
C. 的最小值为
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
11.对于定义在区间上的函数，若满足：，，且，都有，则称函数为区间上的“非增函数”，若为区间上的“非增函数”，且，，又时，恒成立，则下列命题中正确的有( )
A.
B.
C.
D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，若，则 ______．
13.在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为，则的取值范围为______．
14.已知球与圆台的上、下底面和侧面都相切若圆台上下底面半径分别为，，且若球和圆台的表面积分别为和，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求的取值范围．
16.本小题分
如图，已知多面体，其中，，，四点共面，，，，均垂直于平面，四边形为菱形且，，．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线的两条渐近线为，且顶点到渐近线的距离为．
求双曲线的标准方程；
若过点的直线与双曲线交于，两点，已知为坐标原点，当时，求直线的方程．
18.本小题分
已知函数．
求的最小值；
已知曲线在点处的切线分别交轴和轴于、两点，为坐标原点，若，求面积的最小值；
证明：，．
19.本小题分
设是整数数列，是某个取定的正整数，若是除以的余数，则称数列是关于的模数列，记作斐波那契数列是常见的整数数列，满足，，，
写出数列的第项、第项和第项；
斐波那契数列有许多非常好用的性质，比如：，请利用这个性质解决以下问题：
证明数列是周期为的周期数列；
求的个位数字．
参考数据：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
所以，
由正弦定理得：，即，
由余弦定理得：，
因为，所以；
由知：，
因为，所以由正弦定理得：，
所以，，
因为，，
所以
，
因为，所以，
所以，所以的取值范围为．
16.证明：因为，，
由题意可知，在直角梯形和直角梯形中，，
所以，，
又因为，所以，
在菱形中，，，
所以，又因为，
则，又因为，即，
所以，又因为，
所以平面．
连接交于点，分别以，所在直线为，轴，
以过点且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，，四点共面得四边形为平行四边形，所以，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
所以，取．
设平面的一个法向量为，
所以，取．
所以，
所以二面角的余弦值为．
17.双曲线的顶点到渐近线的距离为，
所以，即，又因为，所以，所以双曲线的标准方程为；
因为，设直线的方程为，，，
由，消去化简得，
由，且，解得，且，
由根与系数关系得：，
所以，原点到直线的距离，
所以，所以，化简得，
即，解得或，所以或，
所以直线的方程为或或或．
18.因为，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是；
，，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
当时，，当时，，
因为，所以，
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以的最小值为；
证明：因为，
所以只需证，，
因为，
令，则，，
因为，，所以在上单调递减，所以，
所以，所以，，
所以，．
19.由递推关系得，，，
所以，，．
证明：由题中给的性质，可得，
因为，，
所以，
所以，
所以数列是周期为的周期数列．
因为要计算个位数字，所以考虑数列的周期，
由参考数据，猜想数列的周期为，
证明如下：
因为，又由参考数据易得，．
所以．
所以数列是周期为的周期数列，
因为，，，，
所以，
所以
，
又因为该数列的个位数字是以为周期，
所以，
．
所以，
所以的个位数字为．
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