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湖南省长沙市南雅中学2025届高三下学期终极押题
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.设为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第 象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3.已知向量满足与垂直，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若三棱锥以为顶点的侧面积为，则球的表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数定义为：，若函数恰好有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据，，，，满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比( )
A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第百分位数变小
10.已知双曲线的左右焦点为，点在上，为坐标原点，则( )
A. 时，为钝角三角形
B. 时，为直角三角形
C. 为等腰三角形时，或
D. 外接圈半径为时，或
11.如图，棱长为的正方体，为底面的中心，为侧面的中心，是线段上的动点，为内含边界的动点，则下列说法正确的是( )
A. 平面 B.
C. 的最小值为 D. 三棱锥的外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列的前项和为，若，，则 ．
13.已知函数恰有个极值点，则实数的取值范围为 ．
14.“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方从开始，然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位如：，四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为．
求；
设数列满足，求数列的前项和．
16.本小题分
已知正三棱柱中，底面边长为，，，分别为，，边的中点，过，，三点作三棱柱的截面交棱于，且四边形为正方形．
求四面体的体积；
若为线段上的点，且二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量单位：辆和空气中的的平均浓度单位：调研人员采集了天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为，，，．
完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于辆”有关；
汽车日流量 汽车日流量 合计
的平均浓度
的平均浓度
合计
经计算得回归方程为，且这天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差．
求相关系数，并判断该回归方程是否有价值；
若这天的汽车日流量满足，试推算这天的日均浓度的平均数精确到
参考公式：，其中．
回归方程，其中．
相关系数若，则认为与有较强的线性相关性．
18.本小题分
已知椭圆的离心率，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴垂直时，直线被椭圆截得的线段长为．
求椭圆的方程；
直线与椭圆交于，两点，是椭圆上一动点不同于，，记，，分别为直线，，的斜率，且满足，求点的坐标用表示；
过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
若函数和同时满足下列条件：对任意，都有成立；存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”．
已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”；
设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合试证明：“函数为的函数”的一个充分必要条件是“”；
记为自然对数的底数，，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，可知满足除以余数为，当时，为的倍数，
进行操作，即删除，剩余，
则，可得，
所以．
由可知，
则，
所以数列的前项和．
16.令，连接，．
四边形为正方形，所以．
又在正三棱柱中，
平面，平面．
又平面，．
又为正三角形，且边长为，为的中点，
，，，
又，分别为，边的中点，
，，．
又，，平面，
平面．
．
所以四面体的体积的为．
由知平面，，，
为二面角的平面角，
因为二面角为直二面角，所以
四边形为正方形，
所以，又，
，．
又为的中位线，所以为中点，
所以，，．
以为原点，分别以，，为，，轴正方向如图建系．
则，，，，，
则，，，
令为平面的法向量，则，，，，
所以，取，则，，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.列联表如下：
汽车日流量 汽车日流量 合计
的平均浓度
的平均浓度
合计
零假设：“平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于辆”无关，
因为，
所以至少有的把握但还不能有的把握认为“平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于辆有关”．
因为回归方程为，所以，
又因为，，
所以．
与有较强的相关性，该回归方程有价值．
，解得
而样本中心点位于回归直线上，
因此可推算．
18.解：由题意，可得点在椭圆上，且椭圆的离心率，
所以，解得，所以椭圆的方程为．
解：设点，因为点在椭圆上，所以，即．
同理，设点，则，且，
又因为直线过原点，所以关于原点对称，所以点，
所以，可得，
联立方程组，整理得，
解得或，
用代替上述坐标中的，
可得或，其中．
解：由知，左焦点，
当直线斜率为零时，不妨设，，
则，，可得，，
存在，使成立；
当直线的斜率不为零时，设直线方程为，且，，
联立方程组，整理得，
可得，所以，，
则，
，
因为，，
所以，所以，
又因为，
所以当时，最小，最小值为，
综上，存在，使恒成立，此时的最小值为．
19.取，，
此时，，
故函数是的“函数”，“点”为；
为的“函数”，其“点”组成集合，
故，设，
函数为的“函数”，其“点”组成集合，
故，设，
显然对任意，成立，成立，
充分性，若，
不妨设，此时，成立，
故成立，所以函数为的函数，充分性成立；
必要性，若函数为的函数，
则存在，使得，
由于对任意，成立，故，
故，所以，充分性成立；
故“函数为的函数”的一个充分必要条件是“”；
定义域为，
，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
又，取，，
满足且，
为的“函数”，此时，
当时，取，
故当为在处的切线方程时，才满足要求，
，故切线方程为，
令得，
由于，设，，
所以在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，
当时，结合图象，可知单调递减且下凸，
对任意的，无法做到恒成立，
综上，实数的最大值为．

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