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函数的图象
考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数． 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题． 1.作函数的图象． 2.函数图象的识辨． 3.函数图象的应用． 1.直观想象．
2.逻辑推理．
课前自测
(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(　　)
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
×
×
√
√
函数f(x)为奇函数，关于原点对称．
函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
且f(－x)＝－f(x)，
f(x)＝x＋
2．函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
C
3．下列图象是函数y＝ 的图象的是(　　)
C
4．(易错题)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数_____________的图象．
y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.
y＝f(－x＋1)
向右平移1个单位长度
函数y＝f(－x)
函数y＝f [－(x－1)]
故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.
由题意得a＝|x|＋x，
令y＝|x|＋x＝ 其图象如图所示，
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
考点梳理
1．利用描点法作函数图象
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
基本步骤：列表、描点、连线．
首先：
①确定函数的定义域；
②化简函数解析式；
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1) 平移变换
(2) 对称变换
④ y＝ax(a＞0且a≠1)
① y＝f(x)
y＝－f(x)
关于x轴对称
② y＝f(x)
y＝f(－x)
关于y轴对称
③ y＝f(x)
y＝－f(－x)
关于原点对称
y＝logax(x＞0)
关于y=x对称
(3) 翻折变换
① y＝f(x)
y＝|f(x)|
保留x轴及上方图象
将x轴下方图象翻折上去
② y＝f(x)
y＝f(|x|)
保留y轴及右边图象
并作其关于y轴对称的图象
(4) 伸缩变换
① y＝f(x)
y＝f(ax)
a>1，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
0② y＝f(x)
y＝af(x)
a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变
0常用结论
(2) “上加下减”，要注意加减指的是函数值．
(3) 若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．　
1．函数图象平移变换的八字方针
(1) “左加右减”，要注意加减指的是自变量．
2．函数图象自身的轴对称
(1) f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(2) 函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)．
常用结论
(3) 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．函数图象自身的中心对称
(1) f(－x)＝－f(x) 函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
(2) 函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(－x)＝－f(2a＋x)．
常用结论
(3) 函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．
4．两个函数图象之间的对称关系
(1) 函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝ 对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2) 函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
常见误区
1．函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度，其中是把x变成x－.
2．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．
!
典例剖析
考点
1
作函数的图象
[例1] 分别作出下列函数的图象．
(1) y＝|lg x|；
(2) y＝2x＋2；
(3) y＝x2－2|x|－1.
[例1] 分别作出下列函数的图象．
(1) y＝|lg x|；
y＝|lg x|
＝
lg x
x≥1
－lg x
x<1
(2) y＝2x＋2；
y＝2x的图象向左平移2个单位
[例1] 分别作出下列函数的图象．
(3) y＝x2－2|x|－1.
y＝
x2－2x－1
x≥0
x2+2x－1
x<0
方法总结
函数图象的画法
跟踪训练
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．
当x≥2，即x－2≥0时，
y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝；
当x<2，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－.
所以y＝
x≥2
－
x<2
分别作出下列函数的图象．
(1) y＝|x－2|(x＋1)；
跟踪训练
作出y＝ 的图象，
保留y＝ 图象中x≥0的部分，
加上y＝ 的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
即得y＝ 的图象，如图中实线部分．
分别作出下列函数的图象．
(2) y＝ .
考点
2
函数图象的辨识
[例2] (1) (2020·高考浙江卷)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是(　　)
令f(x)＝xcos x＋sin x，
所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－xcos x－sin x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，
又f(π)＝－π<0
×
×
×
A
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝ 　　　　　 B．f(x)＝
C．f(x)＝ －1 D．f(x)＝x－
由函数图象可知，函数f(x)为奇函数
×
×
若函数为f(x)＝x－ ，则x→＋∞时，f(x)→＋∞
×
A
方法总结
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．　
(1)抓住函数的性质，定性分析
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
(2)抓住函数的特征，定量计算
跟踪训练
1．(2020·湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f(x)＝ ，g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象大致是(　　)
f(x)
关于坐标原点对称
g(x)
√
D
2.图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S＝S(a)(a≥0)是图中阴影部分介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为(　　)
在[1，2]上面积增长速度恒定，在[2，3]上面积增长速度恒定，而在[1，2]上面积增长速度大于在[2，3]上面积增长速度.
根据图形可知在[0，1]上面积增长的速度变慢，在图象上反映出切线的斜率在变小；
×
×
×
C
3.函数f(x)＝ 的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
故a＜0，b＞0，c＜0.
由f(x)＝ 及图象可知，x≠－c，－c＞0，则c＜0；
当x＝0时，f(0)＝＞0，所以b＞0；
当y＝0时，ax＋b＝0，所以x＝－＞0，所以a＜0.
C
考点
3
函数图象的应用
角度一　研究函数的性质
[例3] (多选)(2021·福建厦门双十中学月考)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝ ，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是( 　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有三个解
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
F(x)＝min{f(x)，g(x)}
√
√
×
√
ABD
方法总结
对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(3) 从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．　
(2) 从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(1) 从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
[例4] (2020·高考北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
角度二　解不等式
同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图．
由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2)．
又f(x)>0等价于2x>x＋1，
结合图象，可得x<0或x>1.
故f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
D
方法总结
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．　
利用函数的图象研究不等式的思路
角度三　求参数的取值范围
当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时斜率为，
先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，
故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
[例5] (2021·唐山月考)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_____________．
变式探究
(变条件)若f(x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．
[例5] (2021·唐山月考)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_______．
当－1≤k< 时，
直线y＝kx的图象恒在函数y＝f(x)的下方．
如图作出函数f(x)的图象，
方法总结
当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围．　
跟踪训练
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
f(x)＝x|x|－2x
x2-2x
x≥0
－x2-2x
x<0
＝
画出函数f(x)的大致图象，如图，
观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，
故函数f(x)为奇函数，且在区间(－1，1)上单调递减．
C
函数f(x)的图象大致如图所示．
因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]<0，
所以2xf(x)<0.
由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)．
2．函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为_______________．
(－3，0)∪(0，3)
随堂训练
作出函数f(x)的图象如图所示．
当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；
当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈ ；
当∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．所以x∈(－1，0)∪(1，3)．
1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(　　)
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
C
2．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ＝________．
2
f(3)＝1
＝1
f ＝ f(1) ＝ 2
问题等价于函数y＝f(x)的图象与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a>1.
3．已知函数f(x)＝ 关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
作出f(x)的图象，如图：
由图易知a<2.
因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(a)<4＋f(－a)可转化为f(a)<2，
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x.若f(a)<4＋f(－a)，则实数a的取值范围是________．
(－∞, 2)
5．作出下列函数的图象．
(1) y＝ ；
先作出y＝ 的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝ 的图象，如图所示．
因为y＝ ＝1＋ ，
5．作出下列函数的图象．
(2)y＝|log2(x＋1)|.
利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．
本课小结
本节内容主要是函数图象的辨析；函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，高考题型以选择题为主，中档难度.

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