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(共18张PPT)
三角函数的化简与求值
考情分析
2018年 2019年 2020年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 新高考Ⅰ卷
T6,T15 T7 T10 T9 T9
本部分内容以两角和与差的三角函数公式、倍角公式为基础，考查三角函数的化简与求值.利用同角三角函数基本关系式、辅助角公式，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式进行三角恒等变换为高考热点，考查学生的运算求解能力、等价转化能力及方程思想、整体思想的运用的能力. 三角函数的化
简与求值
考向一　利用三角函数的基本关系式、诱导公式化简求值
例 (2019课标全国Ⅰ,7,5分)tan 255°=(　　)
A.-2- 　 B.-2+ 　
C.2- 　 D.2+
真题再现
D
考向分析 利用诱导公式进行化简
思维引领 利用诱导公式进行化简求值时,可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数
易错分析 未确定函数名称和符号
素养解读 利用诱导公式进行化简考查了逻辑推理的核心素养
例 (2019课标全国Ⅰ,7,5分)tan 255°=(　　)
A.-2- 　 B.-2+ 　
C.2- 　 D.2+
D
变式1 tan(-945°)的值为　　　 .
-1
tan(-945°)=-tan 945°
=-tan(225°+2×360°)
=-tan 225°
=-tan(180°+45°)
=-tan 45°=-1.
变式训练
变式2　已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2020)的值为　 　 .
∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asinα+bcosβ=3,
∴f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)=asinα+bcosβ=3.
3
总结提升
(1)“负化正”——用公式一或公式三来转化;
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°之间的角;
(3)“小化锐”——用公式二或公式四将大于90°的角转化为锐角;
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
总结提升
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式时，可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,
如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.
含2π整数倍的诱导公式的应用
应用诱导公式与同角三角函数基本关系式做开方运算时,一定要注意三角函数的符号;
利用同角三角函数的基本关系式化简时要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
(2019江西临川九校联考)已知α∈(0,π), 且cos α= ,则sin ·tan(π+α)= (　　)
A.- 　 B. 　 C.- 　 D.
对点训练
即sin ·tan(π+α)= .
D
sin ·tan(π+α)=cosα·tanα=sinα,
因为α∈(0,π),且cos α= ,
所以sin α= = = ,
考向二　利用三角恒等变换化简求值
真题再现
例 (2019课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈ , 2sin 2α=cos 2α+1, 则sin α=(　　)
A. B. C. D.
B
例 (2019课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈ , 2sin 2α=cos 2α+1, 则sin α=(　　)
A. B. C. D.
B
考向分析 利用同角三角函数的基本关系式和倍角公式求三角函数值
思维引领 利用倍角公式化简2sin2α=cos 2α+1得到2sin α=cos α
易错分析 记错公式, 忽视了角的范围
素养解读 利用三角公式进行化简考查了数学运算的核心素养
变式训练
变式1 已知α∈ , 2sin 2α=cos 2α+1,则cos 2α=(　　)
A. B. C. D.
由题意可得4sinαcosα=2cos2α.
∵α∈, ∴cos α≠0,∴2sin α=cos α,
又∵sin2α+cos2α=1,∴sin α= ,
∴cos 2α=1-2sin2α=1-2× = .
D
变式2　已知α∈ , sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)
A. B. C. D. 　
∵sin 2α=cos 2α+1,
∴2sin αcos α=2cos2α.
∵α∈, ∴cos α>0,sin α>0,
∴sin α=cos α, ∴tan α=1,
∴α= , ∴sin α= .
A
变式3　已知直线2x-y-1=0的倾斜角为α, 则sin 2α-2cos2α=(　　)
A. B. 　 C. 　 D.
A
sin 2α-2cos2α= = =
tanα=2
总结提升
三角函数求值的类型及方法
给角 求值 解决给角求值问题的关键：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应的公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形
给值 求值 解决给值求值问题的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式，便于将由已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的
给值 求角 解决给值求角问题的关键是变角.把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围
(1)常值代换：特别是“1”的代换,如1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等.
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等.
(3)升次与降次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.
(4)弦、切互化：一般是切化弦.
三角恒等变换的“四大策略”
总结提升
对点训练
(2019山东泰安模拟) =(　　)
A.- B.-1　
C. D.1
D
原式=2×
=2×
=2sin 30°
=1
通过本节课，你学会了什么？

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