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(共19张PPT)
三角函数的图象与性质
考情分析
2018年 2019年 2020年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 新高考Ⅰ卷
T16 T10 T15 T9 T12 T7 T21 T16 T10
三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点,通常与三角恒等变换相结合,考查学生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用.函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换以及根据图象和简单性质确定A、ω、φ的取值为高考的一个热点,主要考查学生识图、辨图的能力. 三角函数的图象
与性质
考向一　三角函数的图象及其变换
例 (多选题)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=( 　　)
A.sin 　 B.sin 　
C.cos 　 D.cos
真题再现
BC
考向分析 利用已知图象确定函数解析式
思路点拨 由周期求ω,由特殊点坐标解方程求φ
易错分析 抓不住特殊量和特殊点来解决问题
素养解读 利用函数图象求解析式考查了直观想象的核心素养
例 (多选题)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=( 　　)
A.sin 　 B.sin 　
C.cos 　 D.cos
BC
变式训练
变式1　函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( 　)
A. f(x)=sin 　 B. f(x)=sin
C. f(x)=cos 　 D. f(x)=cos
由函数图象易知T= + =π,则ω= =2,
所以2×+φ=0,故φ= ,则f(x)=sin .
A
变式2　已知函数f(x)=Acos(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(　　)
A. f(x)=2cos B. f(x)=2cos
C. f(x)=4cos D. f(x)=4cos
A
由图象可知A=2,函数f(x)的周期为×4=4π,又ω>0,所以ω= = ,
因为点在函数f(x)的图象上,所以2=2cos ,所以cos =1,
所以+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=2kπ- ,k∈Z,
又|φ|< ,所以φ=- ,所以f(x)=2cos .
由“图”定“式”找“对应”的方法
由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)中参数的值,关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系,其基本依据就是“五点法”作图.
(1)最值定A,B：根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,
则M=A+B, m=-A+B, 解得B= , A= .
(2)T定ω：由周期的求解公式T= ,可得ω= .
总结提升
(3)确定函数解析式y=Asin(ωx+φ)的关键是φ的确定,常用方法有:
①代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时A,ω已知)或代入图象与x轴的交点的坐标求解(此时要注意交点在增区间还是在减区间).
②五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下:
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)：ωx+φ=0;
“第二点”(即图象的“峰点”)：ωx+φ= ;
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)：ωx+φ=π;
“第四点”(即图象的“谷点”)：ωx+φ= ;
“第五点”：ωx+φ=2π.
对点训练
y=sin 2x=cos =cos,
y=cos =cos ,
将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度即可得到y=cos 的图象.
B
(2019福建五校第二次联考)要得到函数y=cos 的图象,只需将函数y=sin 2x的图象 (　 　)
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
考向二　三角函数的性质
真题再现
例 (2019课标全国Ⅱ,9,5分)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是(　　)
A. f(x)=|cos 2x| B. f(x)=|sin 2x|
C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin|x|
A
例 (2019课标全国Ⅱ,9,5分)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是(　　)
A. f(x)=|cos 2x| B. f(x)=|sin 2x|
C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin|x|
A
考向分析 考查三角函数的图象与性质
思路点拨 分别求出A、B、C、D选项的周期,再判断是否在给定的区间上单调递增
易错分析 不能正确地结合图象求周期和单调性
素养解读 通过三角函数的性质考查学生的逻辑推理、运算求解能力
变式训练
变式1　下列函数中,以2π为周期且在区间单调递减的是(　　)
A.y=|cos 2x| B.y=|sin 2x|
C.y=cos|x| D.y=sin|x|
作出y=|cos 2x|的图象如图所示,
由图象知,其周期为,在区间有增有减,故排除A;
变式1　下列函数中,以2π为周期且在区间单调递减的是(　　)
A.y=|cos 2x| B.y=|sin 2x|
C.y=cos|x| D.y=sin|x|
变式训练
作出y=|sin 2x|的图象如图所示,
由图象知,其周期为,在区间有增有减,故排除B;
变式训练
变式1　下列函数中,以2π为周期且在区间单调递减的是(　　)
A.y=|cos 2x| B.y=|sin 2x|
C.y=cos|x| D.y=sin|x|
C
作出y=sin|x|的图象如图所示,知其不是周期函数,故排除D.
y=cos|x|=cos x,周期为2π,在区间单调递减,故选C;
变式2　下列函数中,以为周期且在区间单调递减的是(　　)
A.f(x)=cos|2x| B.f(x)=sin|2x|　
D
f(x)=|2sin2x-1|=|1-2sin2x|=|cos 2x|,
周期为,在区间上单调递减.
C.f(x)=2|sin xcos x| D.f(x)=|2sin2x-1|
周期为π
×
不具有周期性
×
周期为, 在区间上单调递增
×
√
1.求三角函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ),A,ω,φ为常数,A≠0,ω>0)的
单调区间时,令ωx+φ=z,得y=Asin z(或y=Acos z),然后由复合函数的单调性求解.
(2)图象法：画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间.
2.判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质,通过检验f(x0)的值进行判断.
总结提升
3.求三角函数周期的常用结论
(1)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为，y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻的对称中心以及相邻的对称轴之间的距离都是 个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期;正切曲线相邻的对称中心之间的距离是个周期.
总结提升
(2020河北石家庄教学质量检测)设函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则(　　)
A. f(x)在上单调递增 B. f(x)在上单调递减
C. f(x)在上单调递减 D. f(x)在上单调递增
对点训练
A
f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)= sin ,
∵最小正周期为π, ∴ =π,解得ω=2,
又f(-x)=f(x),x∈R, ∴f(x)为偶函数, ∴φ- =kπ+ ,k∈Z.
∵|φ|< ,∴k=-1,φ=- , ∴f(x)= sin =- cos 2x,
当2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),即kπ≤x≤kπ+ (k∈Z)时, f(x)单调递增,
结合选项可知,当k=0时,x∈符合题意.
通过本节课，你学会了什么？

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