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苏教版高一下册数学必修第二册-13.1.3 直观图的斜二测画法
同步练习
[A　基础达标]
1．对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是(　　)
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
2．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面图形是(　　)
A．任意三角形　　　　　　
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　)
A．2 cm　　　　　　　　　　 B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
4．已知一个水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是(　　)
A．16 B．64
C．16或64 D．都不对
5.正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　　)
A．6 cm　　　　　　　 B．8 cm
C．(2＋3)cm D．(2＋2)cm
6．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD的形状为________．
7．如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是________．
8.如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
9．如图是上、下底面处在水平状态下的棱长为2 cm的正方体的直观图，比例尺为1∶1，回答下列问题：
(1)线段AB1在图中、实物中长度各为多少？∠AB1A1在图中、实物中的度数各为多少？
(2)在实物中，∠ABC，∠AEB，∠BEC，∠ABD，∠CBD的度数是多少？
(3)线段BC在图中、实物中的长度各是多少？∠AD1A1，∠CB1C1在实物中的度数是多少？
10.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
[B　能力提升]
11．如图所示的是水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中D′是A′C′ 的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠60°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有(　　)
A．0条　　 B．1条
C．2条　　 D．3条
12．下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形，在斜二测画法下，其直观图不是全等三角形的一组是(　　)
13.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为________．
14.如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出原图形并求出其面积．
[C　拓展探究]
15．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选B．根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形．
2．解析：选C．因为A′B′∥O′y′且B′C′∥O′x′，
所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形．
3．解析：选D．圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D．
4．解析：选C．根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.
5.解析：选B．如图，OA＝1 cm，
在Rt△OAB中，OB＝2 cm，所以AB＝ ＝3 (cm).所以四边形OABC的周长为8 cm.
6．解析：因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因为四边形A′B′C′D′为平行四边形，且A′B′＝2B′C′，所以AB＝BC，所以原四边形ABCD为正方形．
答案：正方形
7．解析：因为A′D′∥y′轴，
A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，
所以原图形是一个直角梯形，如图所示．
又A′D′＝4，
所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.
答案：28
8.解析：在直观图中四边形A′B′C′O′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，所以顶点B′到x′轴的距离为.
答案：
9．解：(1)平面AA1B1B处在铅直状态下，其内部的图形为真实图形，由已知AA1＝A1B1＝2 cm，AA1⊥A1B1，所以AB1＝＝2 (cm)．所以线段AB1在图中，实物中的长度都是2 cm，∠AB1A1在图中、实物中度数都是45°.
(2)在实物中，∠ABC＝∠AEB＝∠BEC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.
(3)线段BC在图中、实物中的长度分别是1 cm，2 cm，∠AD1A1，∠CB1C1在实物中的度数都是45°.
10.解：方法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，
O′D′＝OD＝，梯形的高D′E′＝，
所以梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
方法二：梯形ABCD的面积S＝(DC＋AB)×OD
＝×(1＋2)×1＝.
所以梯形ABCD直观图的面积为
S′＝S＝×＝.
[B　能力提升]
11．解析：选C．先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把△A′B′C′还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD.故选C．
12．解析：选C．C中，前者在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，高变为原来的，后者在斜二测画法下所得的直观图中，高OC不变，底边AB变为原来的，故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等．
13.解析：由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.
答案：
14.解：原四边形ABCD如图所示，
因为A′C′在水平位置，
四边形A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC.
因为AD＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
[C　拓展探究]
15．解：画法如下：
(1)画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面．在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．

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