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云南省昆明市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高一下·昆明期末）样本数据12，12，13，17，19，23，30，34，40，64的分位数是（　　）
A．12 B．13 C．30 D．34
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：数据从小到大排列为12，12，13，17，19，23，30，34，40，64，
，则这组数据的的分位数是数据的第8个数据34.
故答案为：D.
【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.
2．（2024高一下·昆明期末）已知，，则（　　）
A． B． C．7 D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，
则.
故答案为：D.
【分析】利用同角三角函数基本关系求、，再由两角和的正切公式求值即可.
3．（2024高一下·昆明期末）已知向量满足，，且，则的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：向量满足，，且，
则，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可.
4．（2024高一下·昆明期末）已知，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，，则，或相交，或异面，故A错误；
B、若，，，则，或异面，故B错误；
C、若，，，则，故C正确；
D、若，，则，或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据线线、面面、线面关系逐项判断即可.
5．（2024高一下·昆明期末）“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：若函数为奇函数，则，
即，即是偶函数，即充分性成立；
设函数，则，，，
所以是偶函数，但不是奇函数，即必要性不成立，
故“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分而不必要条件的定义判断即可.
6．（2024高一下·昆明期末）已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台的母线为，
由题意可得：，解得，
则圆台的高，
圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】设圆台的母线为，根据侧面积公式求出母线长，再利用勾股定理求高，根据圆台体积公式计算即可.
7．（2024高一下·昆明期末）点P是以为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以，
因为P到A，B的距离分别为x，y，所以，
令（），
所以，
令，
则，所以，
所以，
因为，
所以当时，取得最大值.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质求解即可.
8．（2024高一下·昆明期末）某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、，所以，
若，则，，故A正确；
B、
，
所以
，不妨令则
，
，故B错误；
C、若，则，故C正确；
D、若，因为，所以，
，
又因为，
所以
，故D正确.
故答案为：B.
【分析】利用均值公式、方差公式逐项判断即可.
9．（2024高一下·昆明期末）在复数范围内，方程的两个根分别为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解： 在复数范围内，方程的两个根分别为，
由韦达定理可得：，故A错误、B正确；
解方程，可得，
，
，故C错误、D正确.
故答案为：BD.
【分析】在复数范围内，方程的两个根分别为，由韦达定理和求根公式计算判断即可.
10．（2024高一下·昆明期末）掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次骰子点数为奇数”，“第二次骰子点数为偶数”，“两次骰子点数之和为奇数”，“两次骰子点数之和为偶数”，则（　　）
A．C与D互为对立事件 B．A与D相互独立
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、易知事件与事件不能同时发生，且并起来是全部的样本空间，则事件 C与D是对立事件，故A正确；
B、抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事件A的样本点为共18种，
事件的样本点为，共有18种，
事件的样本点为共有9种，
则，，
即相互独立，故B正确；
C、事件的样本点为共9种，故，故C正确；
D、由题意可知事件的样本点为，共27种，
则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据对立事件的定义即可判断A；利用列举法，求解对应事件包含的样本点，即可根据古典概型的概率公式求解即可判断CD；结合独立事件的定义即可判断B.
11．（2024高一下·昆明期末）函数，，，则下列说法正确的是（　　）
A．，使得为单调函数
B．，使得有三个零点
C．，使得有最大值
D．，使得的值域为
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，当时，，
A、令，则，单调递减，故A正确；
B、根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，
而，故不存在使上述区间长度为，故B错误；
C、当时，取得最大值，故C正确；
D、由，得，
，
又，即不存在，使得的值域为，故D错误.
故答案为：AC.
【析】根据题意得，区间长度为，采用赋值法验证即可判断A；根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，与题干中的区间长度矛盾即可判断B；当时，可得有最大值即可判断C；根据，得，解三角函数不等式即可判断D.
12．（2024高一下·昆明期末）已知集合，，则　 　．
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由不等式，可得，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交运算的定义求解即可.
13．（2024高一下·昆明期末）设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为，且满足，函数为偶函数，
当时，，当时，，
作出函数图象，如图所示：
由图可知：实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】判断函数的奇偶性，作出函数图象，数形结合求解即可.
14．（2024高一下·昆明期末）已知，，绕点A逆时针旋转得到，则点P的坐标为　 　；一般地，绕A逆时针旋转得到，则的坐标为　 　．
【答案】；
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：易知，设与轴的正方向的夹角为，
则，因为，所以，则，
将向量绕点逆时针旋转得到，
则
因为绕点A逆时针旋转得到，
所以，
又因为，所以的坐标为
故答案为：；.
【分析】利用向量逆时针旋转的角度得到对应向量的坐标，结合三角函数的和差公式求解即可.
15．（2024高一下·昆明期末）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，且的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，
又因为为锐角三角形，所以；
（2）解：的面积为，则，解得，
在中，由余弦定理，可得，
整理得，则，即，解得，
故的周长为.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简求角即可；
（2）由面积公式可得，由余弦定理求解，再求解周长即可.
（1），由正弦定理可得，
又，所以，
因为为锐角三角形，故．
（2）的面积为，所以，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，所以，即，所以，
所以的周长为．
16．（2024高一下·昆明期末）为了解某地区1000家中小型企业2023年的净利润（单位：万元）情况，从中随机抽取80家企业的净利润数据，画出频率分布直方图，如图所示．
（1）估计该地区中小型企业2023年净利润的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）已知这80家企业2023年净利润的标准差为10，估计该地区有多少家中小型企业的净利润在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．
【答案】（1）解：由频率分布直方图可得众数为：，
平均数为：，
则估计该地区中小型企业2023年净利润的众数为85、平均数85；
（2）解：由题，以平均数为中心，2倍标准差的范围为之间，
估计该地区企业净利润在之间的概率为，则，
估计该地区有925家企业在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，利用众数、平均数的公式计算即可；
（2）以平均数为中心，2倍标准差的范围为之间，在频率分布直方图中利用相应小长方形面积求解相应概率；
（1）记这80家企业2023年销售额的众数、平均数分别为、，
由频率分布直方图可得
，
，
所以估计该地区中小型企业2023年净利润的众数为85、平均数85．
（2）由题，以平均数为中心，2倍标准差的范围为之间，
估计该地区企业净利润在之间的概率为，
所以（家），
估计该地区有925家企业在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．
17．（2024高一下·昆明期末）如图，已知长方体中，E为的中点，，．
（1）证明：平面；
（2）设平面平面，且，在图中作出与长方体表面的交线（不必说明作法和理由），并求交线围成图形的面积．
【答案】（1）证明：连接交于P，连接，如图所示：
在长方体中，由为矩形得P为的中点，
由E为的中点，得，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：设M，N分别为，的中点，连接，如图所示：
因为E为的中点，所以四边形为矩形，所以∥，，
因为∥，，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，，
因为，∥，所以四边形为平行四边形，
所以，∥，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
因为∥，平面，平面，
所以∥平面，同理可证得∥平面，
因为，平面，
所以平面∥平面，
所以与长方体的面的交线围成平行四边形，
由已知得，，，
所以，，
则四边形的面积为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；余弦定理
【解析】【分析】（1）连接交于P，连接，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）设M，N分别为，的中点，连接，可证得与长方体的面的交线围成平行四边形，然后根据已知条件求解即可.
（1）证明：如图，连接交于P，连接，
在长方体中，由为矩形得P为的中点，
由E为的中点，得，
又平面，平面，
所以平面．
（2）设M，N分别为，的中点，连接，
因为E为的中点，所以四边形为矩形，
所以∥，，
因为∥，，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，，
因为，∥，所以四边形为平行四边形，
所以，∥，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
因为∥，平面，平面，
所以∥平面，同理可证得∥平面，
因为，平面，
所以平面∥平面，
所以与长方体的面的交线围成平行四边形，
由已知得，，，
所以，，
所以四边形的面积为
．
18．（2024高一下·昆明期末）已知函数 （且）．
（1）讨论的单调性（不需证明）；
（2）若，
（ⅰ）解不等式；
（ⅱ）若在区间上的最小值为，求的值．
【答案】（1）解：当时，函数在R上单调递减；
当时，函数在R上单调递增；
（2）解：（ⅰ），即，
设，则，，即函数为奇函数，
当时，单调递增，由，解得，
根据奇函数的性质，当时，的解为，
综上所述，的解集为；
（ⅱ），
令，因为，则，
所以，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
当，即时，，解得；
当，即时，，
解得，矛盾；
当，即时，，解得，
综上所述，或．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据增函数加增函数是增函数，减函数加减函数是减函数判断即可；
（2）（ⅰ）先考虑，利用函数的单调性得出答案，在根据奇偶性得出时的答案；
（ⅱ）令，把问题转化为二次函数含参最值问题，再分类讨论求解即可.
（1）若，则在R上单调递增；
若，则在R上单调递减．
（2）（ⅰ），即，
设，则，，所以为奇函数，
当时，单调递增，由，解得，
根据奇函数的性质，当时，的解为，
综上所述，的解集为．
（ⅱ），
令，因为，则，
所以，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
①当，即时，，解得．
②当，即时，，
解得，矛盾．
③当，即时，，解得．
综上所述，或．
19．（2024高一下·昆明期末）平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则．大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率估计概率．
（1）为了估算曲线与x轴围成的区域M的面积，记点集表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（，结果保留一位小数）
（2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为，如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，．
（ⅰ）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式；
（ⅱ）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点，利用（1）的结论，求圆周率的近似值（用m，n表示）．
【答案】（1）解：由题，区域N的面积为，记区域M的面积为，
则，所以；
（2）解：（ⅰ）当中点在平行线上时，，当针的一个端点在平行线上时，，针与平行直线有公共点，y与x满足的不等关系式为；
（ⅱ）试验条件对应的点集表示的区域面积为；
由（1）可知，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集表示的区域面积为2，
所以针与平行直线有公共点的概率为，由题，，则．
【知识点】任意角三角函数的定义；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）求出，再根据计算面积即可；
（2）（ⅰ）当中点在平行线上时，，当针的一个端点在平行线上时，，可得不等式；
（ⅱ）试验条件对应的点集，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集，分别求出点集表示的面积相除可得针与平行直线有公共点的概率即可.
（1）由题，区域N的面积为，记区域M的面积为，
则，所以；
（2）（ⅰ）当中点在平行线上时，，当针的一个端点在平行线上时，，
针与平行直线有公共点，y与x满足的不等关系式为．
（ⅱ）试验条件对应的点集表示的区域面积为；
由（1）可知，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集表示的区域面积为2，所以针与平行直线有公共点的概率为，
由题，，所以．
1 / 1云南省昆明市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高一下·昆明期末）样本数据12，12，13，17，19，23，30，34，40，64的分位数是（　　）
A．12 B．13 C．30 D．34
2．（2024高一下·昆明期末）已知，，则（　　）
A． B． C．7 D．
3．（2024高一下·昆明期末）已知向量满足，，且，则的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·昆明期末）已知，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
5．（2024高一下·昆明期末）“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高一下·昆明期末）已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·昆明期末）点P是以为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·昆明期末）某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2024高一下·昆明期末）在复数范围内，方程的两个根分别为，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2024高一下·昆明期末）掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次骰子点数为奇数”，“第二次骰子点数为偶数”，“两次骰子点数之和为奇数”，“两次骰子点数之和为偶数”，则（　　）
A．C与D互为对立事件 B．A与D相互独立
C． D．
11．（2024高一下·昆明期末）函数，，，则下列说法正确的是（　　）
A．，使得为单调函数
B．，使得有三个零点
C．，使得有最大值
D．，使得的值域为
12．（2024高一下·昆明期末）已知集合，，则　 　．
13．（2024高一下·昆明期末）设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是　 　．
14．（2024高一下·昆明期末）已知，，绕点A逆时针旋转得到，则点P的坐标为　 　；一般地，绕A逆时针旋转得到，则的坐标为　 　．
15．（2024高一下·昆明期末）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，且的面积为，求的周长．
16．（2024高一下·昆明期末）为了解某地区1000家中小型企业2023年的净利润（单位：万元）情况，从中随机抽取80家企业的净利润数据，画出频率分布直方图，如图所示．
（1）估计该地区中小型企业2023年净利润的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）已知这80家企业2023年净利润的标准差为10，估计该地区有多少家中小型企业的净利润在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．
17．（2024高一下·昆明期末）如图，已知长方体中，E为的中点，，．
（1）证明：平面；
（2）设平面平面，且，在图中作出与长方体表面的交线（不必说明作法和理由），并求交线围成图形的面积．
18．（2024高一下·昆明期末）已知函数 （且）．
（1）讨论的单调性（不需证明）；
（2）若，
（ⅰ）解不等式；
（ⅱ）若在区间上的最小值为，求的值．
19．（2024高一下·昆明期末）平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则．大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率估计概率．
（1）为了估算曲线与x轴围成的区域M的面积，记点集表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（，结果保留一位小数）
（2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为，如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，．
（ⅰ）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式；
（ⅱ）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点，利用（1）的结论，求圆周率的近似值（用m，n表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：数据从小到大排列为12，12，13，17，19，23，30，34，40，64，
，则这组数据的的分位数是数据的第8个数据34.
故答案为：D.
【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.
2．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，
则.
故答案为：D.
【分析】利用同角三角函数基本关系求、，再由两角和的正切公式求值即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：向量满足，，且，
则，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，，则，或相交，或异面，故A错误；
B、若，，，则，或异面，故B错误；
C、若，，，则，故C正确；
D、若，，则，或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据线线、面面、线面关系逐项判断即可.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：若函数为奇函数，则，
即，即是偶函数，即充分性成立；
设函数，则，，，
所以是偶函数，但不是奇函数，即必要性不成立，
故“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分而不必要条件的定义判断即可.
6．【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台的母线为，
由题意可得：，解得，
则圆台的高，
圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】设圆台的母线为，根据侧面积公式求出母线长，再利用勾股定理求高，根据圆台体积公式计算即可.
7．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以，
因为P到A，B的距离分别为x，y，所以，
令（），
所以，
令，
则，所以，
所以，
因为，
所以当时，取得最大值.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质求解即可.
8．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、，所以，
若，则，，故A正确；
B、
，
所以
，不妨令则
，
，故B错误；
C、若，则，故C正确；
D、若，因为，所以，
，
又因为，
所以
，故D正确.
故答案为：B.
【分析】利用均值公式、方差公式逐项判断即可.
9．【答案】B,D
【知识点】复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解： 在复数范围内，方程的两个根分别为，
由韦达定理可得：，故A错误、B正确；
解方程，可得，
，
，故C错误、D正确.
故答案为：BD.
【分析】在复数范围内，方程的两个根分别为，由韦达定理和求根公式计算判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、易知事件与事件不能同时发生，且并起来是全部的样本空间，则事件 C与D是对立事件，故A正确；
B、抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事件A的样本点为共18种，
事件的样本点为，共有18种，
事件的样本点为共有9种，
则，，
即相互独立，故B正确；
C、事件的样本点为共9种，故，故C正确；
D、由题意可知事件的样本点为，共27种，
则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据对立事件的定义即可判断A；利用列举法，求解对应事件包含的样本点，即可根据古典概型的概率公式求解即可判断CD；结合独立事件的定义即可判断B.
11．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，当时，，
A、令，则，单调递减，故A正确；
B、根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，
而，故不存在使上述区间长度为，故B错误；
C、当时，取得最大值，故C正确；
D、由，得，
，
又，即不存在，使得的值域为，故D错误.
故答案为：AC.
【析】根据题意得，区间长度为，采用赋值法验证即可判断A；根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，与题干中的区间长度矛盾即可判断B；当时，可得有最大值即可判断C；根据，得，解三角函数不等式即可判断D.
12．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由不等式，可得，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交运算的定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为，且满足，函数为偶函数，
当时，，当时，，
作出函数图象，如图所示：
由图可知：实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】判断函数的奇偶性，作出函数图象，数形结合求解即可.
14．【答案】；
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：易知，设与轴的正方向的夹角为，
则，因为，所以，则，
将向量绕点逆时针旋转得到，
则
因为绕点A逆时针旋转得到，
所以，
又因为，所以的坐标为
故答案为：；.
【分析】利用向量逆时针旋转的角度得到对应向量的坐标，结合三角函数的和差公式求解即可.
15．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，
又因为为锐角三角形，所以；
（2）解：的面积为，则，解得，
在中，由余弦定理，可得，
整理得，则，即，解得，
故的周长为.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简求角即可；
（2）由面积公式可得，由余弦定理求解，再求解周长即可.
（1），由正弦定理可得，
又，所以，
因为为锐角三角形，故．
（2）的面积为，所以，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，所以，即，所以，
所以的周长为．
16．【答案】（1）解：由频率分布直方图可得众数为：，
平均数为：，
则估计该地区中小型企业2023年净利润的众数为85、平均数85；
（2）解：由题，以平均数为中心，2倍标准差的范围为之间，
估计该地区企业净利润在之间的概率为，则，
估计该地区有925家企业在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，利用众数、平均数的公式计算即可；
（2）以平均数为中心，2倍标准差的范围为之间，在频率分布直方图中利用相应小长方形面积求解相应概率；
（1）记这80家企业2023年销售额的众数、平均数分别为、，
由频率分布直方图可得
，
，
所以估计该地区中小型企业2023年净利润的众数为85、平均数85．
（2）由题，以平均数为中心，2倍标准差的范围为之间，
估计该地区企业净利润在之间的概率为，
所以（家），
估计该地区有925家企业在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．
17．【答案】（1）证明：连接交于P，连接，如图所示：
在长方体中，由为矩形得P为的中点，
由E为的中点，得，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：设M，N分别为，的中点，连接，如图所示：
因为E为的中点，所以四边形为矩形，所以∥，，
因为∥，，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，，
因为，∥，所以四边形为平行四边形，
所以，∥，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
因为∥，平面，平面，
所以∥平面，同理可证得∥平面，
因为，平面，
所以平面∥平面，
所以与长方体的面的交线围成平行四边形，
由已知得，，，
所以，，
则四边形的面积为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；余弦定理
【解析】【分析】（1）连接交于P，连接，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）设M，N分别为，的中点，连接，可证得与长方体的面的交线围成平行四边形，然后根据已知条件求解即可.
（1）证明：如图，连接交于P，连接，
在长方体中，由为矩形得P为的中点，
由E为的中点，得，
又平面，平面，
所以平面．
（2）设M，N分别为，的中点，连接，
因为E为的中点，所以四边形为矩形，
所以∥，，
因为∥，，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，，
因为，∥，所以四边形为平行四边形，
所以，∥，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
因为∥，平面，平面，
所以∥平面，同理可证得∥平面，
因为，平面，
所以平面∥平面，
所以与长方体的面的交线围成平行四边形，
由已知得，，，
所以，，
所以四边形的面积为
．
18．【答案】（1）解：当时，函数在R上单调递减；
当时，函数在R上单调递增；
（2）解：（ⅰ），即，
设，则，，即函数为奇函数，
当时，单调递增，由，解得，
根据奇函数的性质，当时，的解为，
综上所述，的解集为；
（ⅱ），
令，因为，则，
所以，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
当，即时，，解得；
当，即时，，
解得，矛盾；
当，即时，，解得，
综上所述，或．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据增函数加增函数是增函数，减函数加减函数是减函数判断即可；
（2）（ⅰ）先考虑，利用函数的单调性得出答案，在根据奇偶性得出时的答案；
（ⅱ）令，把问题转化为二次函数含参最值问题，再分类讨论求解即可.
（1）若，则在R上单调递增；
若，则在R上单调递减．
（2）（ⅰ），即，
设，则，，所以为奇函数，
当时，单调递增，由，解得，
根据奇函数的性质，当时，的解为，
综上所述，的解集为．
（ⅱ），
令，因为，则，
所以，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
①当，即时，，解得．
②当，即时，，
解得，矛盾．
③当，即时，，解得．
综上所述，或．
19．【答案】（1）解：由题，区域N的面积为，记区域M的面积为，
则，所以；
（2）解：（ⅰ）当中点在平行线上时，，当针的一个端点在平行线上时，，针与平行直线有公共点，y与x满足的不等关系式为；
（ⅱ）试验条件对应的点集表示的区域面积为；
由（1）可知，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集表示的区域面积为2，
所以针与平行直线有公共点的概率为，由题，，则．
【知识点】任意角三角函数的定义；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）求出，再根据计算面积即可；
（2）（ⅰ）当中点在平行线上时，，当针的一个端点在平行线上时，，可得不等式；
（ⅱ）试验条件对应的点集，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集，分别求出点集表示的面积相除可得针与平行直线有公共点的概率即可.
（1）由题，区域N的面积为，记区域M的面积为，
则，所以；
（2）（ⅰ）当中点在平行线上时，，当针的一个端点在平行线上时，，
针与平行直线有公共点，y与x满足的不等关系式为．
（ⅱ）试验条件对应的点集表示的区域面积为；
由（1）可知，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集表示的区域面积为2，所以针与平行直线有公共点的概率为，
由题，，所以．
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