资源简介

浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期6月教学质量检测数学试题
1．（2024高一下·杭州期末）已知复数（是虚数单位，），则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，则，即.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求得，再求共轭复数，求模即可．
2．（2024高一下·杭州期末）已知向量，若，则实数的值为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，若，则，
解得或.
故答案为：C.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求解即可.
3．（2024高一下·杭州期末）已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则或，故A错误；
B、 若， 当时，不能推出，故B错误；
C、若 若， 当时，则不能推出，故C错误；
D、若，则，因为，由面面垂直的判定定理，可得，故D正确.
故答案为：D.
【分析】举出反例即可判断ABC；根据平行和垂直的性质和判定即可判断D.
4．（2024高一下·杭州期末）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，满足，但，即充分性不成立，
若，当时，必有成立；当时，必有，即必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质、举反例，结合充分、必要条件的定义判断即可.
5．（2024高一下·杭州期末）在中，角对应的边分别为．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，则，
由正弦定理，可得.
故答案为：B.
【分析】利用三角形内角和结合正弦定理求a的值即可.
6．（2024高一下·杭州期末）为了得到函数的图象，可以把的图象（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：函数，
可将的图象向右平移个单位长度得到的图象.
故答案为：D.
【分析】根据诱导公式结合三角函数图象的平移变换求解判断即可.
7．（2024高一下·杭州期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（　　）个小时才会“药物失效”．（参考数据：）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：物实验中，血液中药物含量为的浓度为，
设至少经过个小时才会“药物失效”，
由题意可得：，两边取对数得，
则
，即至少经过个小时才会“药物失效”.
故答案为：D.
【分析】由题意得列不等式，两边取对数求解即可.
8．（2024高一下·杭州期末）已知是方程的两个实根，则（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
①，
②，
①②得：，即，
即，即，则.
故答案为：C.
【分析】由题意把两根代入方程得两个式子，结合韦达定理联立两个式子化简变形即可.
9．（2024高一下·杭州期末）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、函数在上单调递减，因为，所以，故A错误；
B、函数在上单调递增，因为，所以，故B正确；
C、，
因为，且函数在上单调递增，所以，则，，
则，则，故C错误；
D、函数，
因为为增函数，且恒成立，
所以为减函数，
因为，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据函数的单调性即可判断ABD；利用作差法即可判断C.
10．（2024高一下·杭州期末）如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（　　）
A．每一个直角三角形的面积为1 B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：A、由题意可知：小正方形的边长为，大正方形的边长为，
则每个直角三角形的面积为，故A正确；
B、设直角三角形的边长分别为（其中），由，可得，
则，
联立方程组，解得，
又因为，所以，故B不正确；
C、由，所以，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意可得：小正方形的边长为，大正方形的边长为即可判断A；设直角三角形的边长分别为，求得，结合三角的定义和三角恒等变换的公式即可判断CD.
11．（2024高一下·杭州期末）在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则（　　）
A．是函数的一条对称轴
B．函数是周期为的函数
C．
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；任意角三角函数的定义；辅助角公式
【解析】【解答】A、解：由题意可得：，，
则，
，则不是函数的一条对称轴，故A错误；
B、，
则为周期为的函数，故B正确；
C、，
令，
则，
当时，取到最大值为，即，故C正确；
D、因为，则，
则
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意分别求出，，则，代入即可判断A；由即可判断B；利用换元法令即可判断C；
化简即可判断D.
12．（2024高一下·杭州期末）已知集合．若，则实数　 　．
【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解： 集合，若，
则4必定在集合中，
当时，解得或，
当时，，则，与题意不符，舍去；
当时，，则，符合题意，所以，
当时，解得，此时，不满足，舍去，
综上，即实数的值为.
故答案为：.
【分析】分类讨论求解参数即可.
13．（2024高一下·杭州期末）已知，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：易知，由，可得，即，
则，当且仅当时等号成立，
故当时，取得最小值.
故答案为：.
【分析】利用对数运算结合基本不等式求最小值即可.
14．（2024高一下·杭州期末）一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为　 　．
【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可知：小球在这个容器内向各个方向自由滚动时，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分，
上、下底面均为正三角形，其边长为：，
其面积为：，
侧面部分是底边长为，高为的矩形，其面积为：；
则小球能接触到的容器内壁的最大面积为：．
故答案为：.
【分析】由题意得，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分，上下底面部分是正三角形，其边长为：，侧面部分是底边长为，高为的矩形，据此求解即可．
15．（2024高一下·杭州期末）设函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论；
（2）若，求函数的值域．
【答案】（1）函数在上单调递增；
证明：任取，且，
则，
因为，所以，
所以，得，
则函数在上单调递增；
（2）解：函数，则，，
故，
由（1）的证明过程知，函数在上单调递减，
由复合函数的单调性可得：函数在上单调递增，在上单调递减，
即当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，
，
显然，故，
故函数的值域为：.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）由题意可得：函数，由复合函数的单调性知函数在上单调递增，在上单调递减，即可求解．
（1）函数在上单调递增；
证明：任取，且，
则
，
因为，
所以，
所以，得，
所以函数在上单调递增；
（2）解：因为，则，，
所以，
由（1）的证明过程知，函数在上单调递减，
所以由复合函数的单调性可得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，
显然，故，
所以函数的值域为：
16．（2024高一下·杭州期末）如图，点分别是矩形的边上的点，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若是的中点，依次为边的2025等分点．求的值．
【答案】（1）解：在矩形中，，
，即，
则；
（2）解：取的中点，连接，如图所示：
由依次为边的2025等分点，，
可得，
则.
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算及数量积运算计算即可；
（2）取的中点，利用中点向量公式求和即可.
（1）在矩形中，，
，即，
所以.
（2）取的中点，连接，由依次为边的2025等分点，
，
得，
所以.
17．（2024高一下·杭州期末）已知实数，设函数，且．
（1）求实数，并写出的单调递减区间；
（2）若为函数的一个零点，求．
【答案】（1）解：函数，
由，可得，因为，所以，
则函数，
令，得，
则函数的单调递减区间是；
（2）解：由（1）知：，，
则.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）代入求出值，再利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求单调减区间即可；
（2）利用函数零点的意义，结合两角和的余弦公式求解即可.
（1）函数，由，得，而，则，
，
由，得，
所以的单调递减区间是.
（2）由（1）知，，，
所以.
18．（2024高一下·杭州期末）在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点在棱上，，过点的平面与直线垂直，且与分别交于点．
（1）求线段的长度；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）解：由题意，直线平面，因为平面，所以 ，
由，得，为正三角形，得，则，
又因为为正三角形，所以，则；
（2）解：取的中点，连接，如图所示：
则，即是二面角的平面角，显然，
由余弦定理得，
则二面角的余弦值；
（3）解：由（2）知，平面，而平面，则平面平面，
在平面内过点作于，又平面平面，
于是平面，，
则点到平面距离，
由（1）知的面积，，
，显然，
则，，在中，，
，的面积，
设点到平面的距离为，由，得，
因此，
故点到平面的距离为.
【知识点】二面角及二面角的平面角；解三角形；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合正三角形、直角三角形求解即可；
（2）取的中点，确定二面角的平面角，再利用余弦定理求解即可；
（3）利用等体积法求出点到平面的距离.
（1）依题意，直线平面，而平面，则，
由，得，由为正三角形，得，则，
又为正三角形，即，因此.
（2）取的中点，连接，则有，
因此是二面角的平面角，显然，
由余弦定理得，
所以二面角的余弦值.
（3）由（2）知，平面，而平面，则平面平面，
在平面内过点作于，又平面平面，
于是平面，，
则点到平面距离，
由（1）知的面积，，
，显然，
则，，在中，，
，的面积，
设点到平面的距离为，由，得，
因此，
所以点到平面的距离为.
19．（2024高一下·杭州期末）已知函数的定义域均为．定义：①若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”．
（1）判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由；
（2）设，若存在函数，使得与关于“任意交换”，求的值；
（3）设，若与关于“3维交换”，求实数的值．
【答案】（1）解：函数与关于“维交换”，
显然，令，即，解得，
则有唯一解，
即与关于“维交换”；
（2）解：对任意，恒有成立，
即对任意，存在函数，，
显然等式左边是关于的4次多项式，设，
于是，
由奇次项系数得，又，则，，解得，
因此存在，使得与关于“任意交换”，所以；
（3）解：令，依题意，函数在R上有3个零点，显然，即是函数的零点，
当时，若，则，，即函数在时无零点，
若，则在上单调递增，
，函数在时只有1个零点，不符合题意，
因此，①当时，，
显然函数的图象恒过点，
则当时，函数的图象开口向上，在时仅只一个零点，
当时，，在时没有零点，
②当时，，
显然函数的图象恒过点，
，当，即时，在时仅只一个零点，
当，即时，在时有2个零点，
当，即时，在时没有零点，
③当时，，
显然函数的图象恒过点，
当时，在时无零点，当时，在时有1个零点，
综上所述，当时，有3个零点，
所以当与关于“3维交换”时，.
【知识点】函数的零点与方程根的关系；多项式
1 / 1浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期6月教学质量检测数学试题
1．（2024高一下·杭州期末）已知复数（是虚数单位，），则（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2024高一下·杭州期末）已知向量，若，则实数的值为（　　）
A． B． C．或 D．
3．（2024高一下·杭州期末）已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．（2024高一下·杭州期末）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高一下·杭州期末）在中，角对应的边分别为．若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·杭州期末）为了得到函数的图象，可以把的图象（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7．（2024高一下·杭州期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（　　）个小时才会“药物失效”．（参考数据：）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2024高一下·杭州期末）已知是方程的两个实根，则（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2024高一下·杭州期末）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·杭州期末）如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（　　）
A．每一个直角三角形的面积为1 B．
C． D．
11．（2024高一下·杭州期末）在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则（　　）
A．是函数的一条对称轴
B．函数是周期为的函数
C．
D．若，则
12．（2024高一下·杭州期末）已知集合．若，则实数　 　．
13．（2024高一下·杭州期末）已知，则的最小值为　 　．
14．（2024高一下·杭州期末）一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为　 　．
15．（2024高一下·杭州期末）设函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论；
（2）若，求函数的值域．
16．（2024高一下·杭州期末）如图，点分别是矩形的边上的点，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若是的中点，依次为边的2025等分点．求的值．
17．（2024高一下·杭州期末）已知实数，设函数，且．
（1）求实数，并写出的单调递减区间；
（2）若为函数的一个零点，求．
18．（2024高一下·杭州期末）在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点在棱上，，过点的平面与直线垂直，且与分别交于点．
（1）求线段的长度；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
19．（2024高一下·杭州期末）已知函数的定义域均为．定义：①若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”．
（1）判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由；
（2）设，若存在函数，使得与关于“任意交换”，求的值；
（3）设，若与关于“3维交换”，求实数的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，则，即.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求得，再求共轭复数，求模即可．
2．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，若，则，
解得或.
故答案为：C.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则或，故A错误；
B、 若， 当时，不能推出，故B错误；
C、若 若， 当时，则不能推出，故C错误；
D、若，则，因为，由面面垂直的判定定理，可得，故D正确.
故答案为：D.
【分析】举出反例即可判断ABC；根据平行和垂直的性质和判定即可判断D.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，满足，但，即充分性不成立，
若，当时，必有成立；当时，必有，即必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质、举反例，结合充分、必要条件的定义判断即可.
5．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，则，
由正弦定理，可得.
故答案为：B.
【分析】利用三角形内角和结合正弦定理求a的值即可.
6．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：函数，
可将的图象向右平移个单位长度得到的图象.
故答案为：D.
【分析】根据诱导公式结合三角函数图象的平移变换求解判断即可.
7．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：物实验中，血液中药物含量为的浓度为，
设至少经过个小时才会“药物失效”，
由题意可得：，两边取对数得，
则
，即至少经过个小时才会“药物失效”.
故答案为：D.
【分析】由题意得列不等式，两边取对数求解即可.
8．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
①，
②，
①②得：，即，
即，即，则.
故答案为：C.
【分析】由题意把两根代入方程得两个式子，结合韦达定理联立两个式子化简变形即可.
9．【答案】B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、函数在上单调递减，因为，所以，故A错误；
B、函数在上单调递增，因为，所以，故B正确；
C、，
因为，且函数在上单调递增，所以，则，，
则，则，故C错误；
D、函数，
因为为增函数，且恒成立，
所以为减函数，
因为，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据函数的单调性即可判断ABD；利用作差法即可判断C.
10．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：A、由题意可知：小正方形的边长为，大正方形的边长为，
则每个直角三角形的面积为，故A正确；
B、设直角三角形的边长分别为（其中），由，可得，
则，
联立方程组，解得，
又因为，所以，故B不正确；
C、由，所以，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意可得：小正方形的边长为，大正方形的边长为即可判断A；设直角三角形的边长分别为，求得，结合三角的定义和三角恒等变换的公式即可判断CD.
11．【答案】B,C,D
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；任意角三角函数的定义；辅助角公式
【解析】【解答】A、解：由题意可得：，，
则，
，则不是函数的一条对称轴，故A错误；
B、，
则为周期为的函数，故B正确；
C、，
令，
则，
当时，取到最大值为，即，故C正确；
D、因为，则，
则
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意分别求出，，则，代入即可判断A；由即可判断B；利用换元法令即可判断C；
化简即可判断D.
12．【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解： 集合，若，
则4必定在集合中，
当时，解得或，
当时，，则，与题意不符，舍去；
当时，，则，符合题意，所以，
当时，解得，此时，不满足，舍去，
综上，即实数的值为.
故答案为：.
【分析】分类讨论求解参数即可.
13．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：易知，由，可得，即，
则，当且仅当时等号成立，
故当时，取得最小值.
故答案为：.
【分析】利用对数运算结合基本不等式求最小值即可.
14．【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可知：小球在这个容器内向各个方向自由滚动时，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分，
上、下底面均为正三角形，其边长为：，
其面积为：，
侧面部分是底边长为，高为的矩形，其面积为：；
则小球能接触到的容器内壁的最大面积为：．
故答案为：.
【分析】由题意得，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分，上下底面部分是正三角形，其边长为：，侧面部分是底边长为，高为的矩形，据此求解即可．
15．【答案】（1）函数在上单调递增；
证明：任取，且，
则，
因为，所以，
所以，得，
则函数在上单调递增；
（2）解：函数，则，，
故，
由（1）的证明过程知，函数在上单调递减，
由复合函数的单调性可得：函数在上单调递增，在上单调递减，
即当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，
，
显然，故，
故函数的值域为：.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）由题意可得：函数，由复合函数的单调性知函数在上单调递增，在上单调递减，即可求解．
（1）函数在上单调递增；
证明：任取，且，
则
，
因为，
所以，
所以，得，
所以函数在上单调递增；
（2）解：因为，则，，
所以，
由（1）的证明过程知，函数在上单调递减，
所以由复合函数的单调性可得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，
显然，故，
所以函数的值域为：
16．【答案】（1）解：在矩形中，，
，即，
则；
（2）解：取的中点，连接，如图所示：
由依次为边的2025等分点，，
可得，
则.
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算及数量积运算计算即可；
（2）取的中点，利用中点向量公式求和即可.
（1）在矩形中，，
，即，
所以.
（2）取的中点，连接，由依次为边的2025等分点，
，
得，
所以.
17．【答案】（1）解：函数，
由，可得，因为，所以，
则函数，
令，得，
则函数的单调递减区间是；
（2）解：由（1）知：，，
则.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）代入求出值，再利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求单调减区间即可；
（2）利用函数零点的意义，结合两角和的余弦公式求解即可.
（1）函数，由，得，而，则，
，
由，得，
所以的单调递减区间是.
（2）由（1）知，，，
所以.
18．【答案】（1）解：由题意，直线平面，因为平面，所以 ，
由，得，为正三角形，得，则，
又因为为正三角形，所以，则；
（2）解：取的中点，连接，如图所示：
则，即是二面角的平面角，显然，
由余弦定理得，
则二面角的余弦值；
（3）解：由（2）知，平面，而平面，则平面平面，
在平面内过点作于，又平面平面，
于是平面，，
则点到平面距离，
由（1）知的面积，，
，显然，
则，，在中，，
，的面积，
设点到平面的距离为，由，得，
因此，
故点到平面的距离为.
【知识点】二面角及二面角的平面角；解三角形；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合正三角形、直角三角形求解即可；
（2）取的中点，确定二面角的平面角，再利用余弦定理求解即可；
（3）利用等体积法求出点到平面的距离.
（1）依题意，直线平面，而平面，则，
由，得，由为正三角形，得，则，
又为正三角形，即，因此.
（2）取的中点，连接，则有，
因此是二面角的平面角，显然，
由余弦定理得，
所以二面角的余弦值.
（3）由（2）知，平面，而平面，则平面平面，
在平面内过点作于，又平面平面，
于是平面，，
则点到平面距离，
由（1）知的面积，，
，显然，
则，，在中，，
，的面积，
设点到平面的距离为，由，得，
因此，
所以点到平面的距离为.
19．【答案】（1）解：函数与关于“维交换”，
显然，令，即，解得，
则有唯一解，
即与关于“维交换”；
（2）解：对任意，恒有成立，
即对任意，存在函数，，
显然等式左边是关于的4次多项式，设，
于是，
由奇次项系数得，又，则，，解得，
因此存在，使得与关于“任意交换”，所以；
（3）解：令，依题意，函数在R上有3个零点，显然，即是函数的零点，
当时，若，则，，即函数在时无零点，
若，则在上单调递增，
，函数在时只有1个零点，不符合题意，
因此，①当时，，
显然函数的图象恒过点，
则当时，函数的图象开口向上，在时仅只一个零点，
当时，，在时没有零点，
②当时，，
显然函数的图象恒过点，
，当，即时，在时仅只一个零点，
当，即时，在时有2个零点，
当，即时，在时没有零点，
③当时，，
显然函数的图象恒过点，
当时，在时无零点，当时，在时有1个零点，
综上所述，当时，有3个零点，
所以当与关于“3维交换”时，.
【知识点】函数的零点与方程根的关系；多项式
1 / 1

展开更多......

收起↑