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宜宾三江新区2025年春期九年级第二次诊断性考试
数学
（考试时间：120分钟，全卷满分：150分）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．（注意：在试题卷上作答无效）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 圆心角为，半径为的扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 扬 B. 四 C. 精 D. 神
5. 如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，一次函数（）的图象交轴、轴于两点，与反比例函数（，）的图象相交于点，，，．点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接．当面积最大时，点的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
9. 如图，在中，点分别为边上的两动点，，若，，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，中，，，点为内一点，连接，且．若的面积为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 关于抛物线（常数），以下结论：
①若此抛物线与轴只有一个公共点，则；
②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则；
③若点，在抛物线上，则；
④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
其中结论正确的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）请将答案直接填在答题卡对应题目中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）
12. 分解因式：__________．
13. 若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数是__________．
14. 分式方程的解是______．
15. 若一个自然数，其中a与b都是两位数，a与b十位数字相同，个位数字之和为6，则称自然数n为“理想数”，将自然数n分解成的过程，称为“理想分解”．如，所以168是“理想数”．若把一个“理想数”n进行“理想分解”，即，a与b的和记为，a与b的差的绝对值记为，，当能被3整除时，满足条件的n的最小值是__________．
16. 如图，在中，，点分别是边上的动点，满足，，且四边形的面积为，则面积的最小值是______．
17. 如图，在平行四边形中，，，，P为边上一点（不与A、D重合），Q为平面内一点，且，以为边作，使斜边，平分，交于点F，连结，在点P、Q的运动过程中，的最大值与最小值的差为__________．
三、解答题：（本大题共7个小题，共78分．）解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效）
18. 计算：
（1）
（2）
19. 如图，分别以的边、向外作等边三角形、等边三角形，和相交于点M．
（1）求证：．
（2）求．
20. 某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组 频数
A： a
B： 18
C： 24
D： b
（1）n的值为　　　　　，a的值为　 　，b的值为　 　；
（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为　 　°；
（3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
21. 某校综合实践小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图所示．
（1）如图，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示．
（2）该综合实践小组前往江北烈士陵园测量革命烈士纪念碑的高度（碑顶到水平地面的距离）．该小组利用自制简易测角仪在点分别测得碑顶的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求革命烈士纪念碑的高．（参考数据：，，）
22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数相交于点和点，的延长线交反比例函数的图象于点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，当的值最小时，求的值．
23. 如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连接并延长交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若平分，，，求长．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C，且．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在直线下方抛物线上是否存在一点D，使得的面积最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点E、F分别是射线、上的动点（如图），点P为线段的中点，且，求的最大值．
宜宾三江新区2025年春期九年级第二次诊断性考试
数学
（考试时间：120分钟，全卷满分：150分）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．（注意：在试题卷上作答无效）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】D
【11题答案】
【答案】B
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）请将答案直接填在答题卡对应题目中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】1088
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】##
三、解答题：（本大题共7个小题，共78分．）解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）见详解 （2）
【20题答案】
【答案】（1）60，6，12
（2）补全频数分布直方图见解析，144
（3）恰好抽到甲、乙两名同学的概率为
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
【22题答案】
【答案】（1），
（2）或
（3）
【23题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【24题答案】
【答案】（1）
（2）存，
（3）的最大值为4

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