资源简介

浙江省杭州市西湖区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·西湖模拟）下列各数中，比小的数是（　　）
A．3 B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：，
，
∴比小的数是．
故答案为：D．
【分析】根据有理数大小比较法则"①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．根据负数都小于零，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小"并结合各选项即可判断求解．
2．（2025·西湖模拟）如图，一个几何体由5个大小相同的正方体组成，该几何体的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：一个几何体由5个大小相同的正方体组成，该几何体的俯视图为
，
故答案为：D．
【分析】根据"俯视图是从物体上面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示"并结合各选项即可求解．
．
3．（2025·西湖模拟）“杭州六小龙”—宇树科技、游戏科学、强脑科技、深度求索、云深处科技、群核科技正在用硬科技重新定义中国创新．据统计，2024年杭州数字经济核心产业增加值达6305亿元，占全市GDP比重，远超全国平均水平．数据“6305亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6305亿，
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义并结合题意可求解.
4．（2025·西湖模拟）下列式子计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵和不是同类项，不能合并，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项符合题意；
C、≠2a，
∴此选项不符合题意；
D 、≠2a6，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知2a2和a3不是同类项，所以不能合并；
B 、根据积的乘方法则“积的乘方等于把积中每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解．
5．（2025·西湖模拟）如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知，延长交于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
故答案为：D．
【分析】根据对顶角相等，角的和差关系计算的度数，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可求解．
6．（2025·西湖模拟） 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（　　）
A．8株 B．9株 C．10株 D．11株
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：第5组植树 (株)，
这5个组的植树数量从小到大排列为：8株，8株，9株， 12株， 13株，
∴这5个组的植树数量中，中位数是9株，
故答案为：B .
【分析】根据算术平均数的定义，用植树总株数减去4个组植树数量可得第5组的植树数量，根据中位数的定义即可得.
7．（2025·西湖模拟）已知是实数，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵是实数，若，，
∴，
∴此选项不符合题意；
B、∵是实数，若，，
∴，
∴此选项不符合题意；
C、∵是实数，若，，
∴c2＞0，
∴，
∴此选项符合题意；
D、∵是实数，若，，
∴a-c＞b，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变。由不等式的性质可判断求解．
8．（2025·西湖模拟）《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱，且人数为人，物价为钱，
即，
故答案为：A．
【分析】根据题中的两个相等关系“ 每个人出8钱-3=总物价， 每个人出7钱+4=总物价”列关于x、y的方程组并结合各选项即可判断求解．
9．（2025·西湖模拟）已知二次函数（是常数，）的图象经过点，，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，，
∴
，
A、若，，
∴，，
∴此选项符合题意；
B、若，，则，正负无法确定，
∴不一定成立，
∴此选项不符合题意；
C、若，，则，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、若，，则，正负无法确定，
∴ 不一定成立，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，可求得，再结合各选项即可判断求解．
10．（2025·西湖模拟）如图，在正方形中，点为的中点，点在以为直径的半圆上，，延长，分别交于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，交于点J．设的中点为O，连接．设正方形的边长为．
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在Rt△EFH和Rt△ECH中
∴，
∴，
∵，，，
在Rt△AEF和Rt△AEB中
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADG和Rt△AFG中
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分线段，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接，，交于点J．设的中点为O，连接．设正方形的边长为．由题意，根据HL定理可分别证Rt△EFH≌Rt△ECH，Rt△AEF≌Rt△AEB，Rt△ADG≌Rt△AFG，由全等三角形的对应边相等可得，，再证明，根据tan∠GHF=tan∠BOJ=可求解.
11．（2025·西湖模拟）计算：　 　；　 　．
【答案】4；
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，，
故答案为：4，．
【分析】根据有理数的乘方和二次根式的性质“”并结合合并同类二次根式法则计算即可求解．
12．（2025·西湖模拟）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．
故答案为（a+3）（a-3）．
【分析】观察此多项式的特点，没有公因式，符合平方差公式的特点，即可求解。
13．（2025·西湖模拟） 有3张仅有编号不同的卡片，编号分别是2，3，4. 从中随机抽取一张，记下编号后放回，再随机抽取一张记下编号，则两次抽到的编号都是偶数的概率等于　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
2 3 4
2 (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，2) (4，3) (4，4)
共有9种等可能的结果，其中两次抽到的编号都是偶数的结果有： (2，2)， (2，4)， (4，2)， (4，4)， 共4种，
∴两次抽到的编号都是偶数的概率为
故答案为：
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的编号都是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案.
14．（2025·西湖模拟）如图，的切线与直径的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为　 　°．
【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案：35．
【分析】连接OP，根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后根据直角三角形两锐角互余可求出，再根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”即可求解．
15．（2025·西湖模拟）已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，
，
即，
故，
由于点的横坐标是，
故点的横坐标是．
故答案为：．
【分析】将两个函数关系式联立解方程组可得关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系进行计算即可求解．
16．（2025·西湖模拟）如图是一张菱形纸片，点在边上，，把沿直线折叠得到，点落在的延长线上．若恰好平分，则　 　°，　 　．
【答案】；
【知识点】公式法解一元二次方程；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，，
由折叠的性质得，
∵恰好平分，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
设，，则，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】由菱形的性质结合折叠的性质求得，，由平行线的性质列式，可求得；设，，则，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式，结合已知可得关于x的方程，解之可将x用含a的代数式表示出来，然后代入所求代数式计算即可求解．
17．（2025·西湖模拟）以下是芳芳解不等式组的解答过程：
解：由①，得，所以．
由②，得，所以，所以．
所以原不等式组的解是．
芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】解：芳芳的解答过程有错误，理由如下：
在解不等式①时，两边同乘以，不等号的方向没有改变，故错误；
在解不等式②时，去括号漏乘3，故错误；
正确解答如下：
由①，得，所以．
由②，得，所以，所以．
∴原不等式组的解是．
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【分析】由题意求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
18．（2025·西湖模拟）某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）．
年级 平均数 中位数 众数
七年级 分 9分 9分
八年级 8.8分 9分 分
（1）根据以上信息填空： ， ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由．
【答案】（1），9
（2）解：依题意，条形统计图补充如图，
（3）解：原说法不正确；理由：
抽取的样本不一定能代表整体人数的情况；且七年级和八年级整体人数未知．
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：七年级A等级人数人，
B等级人数人，
C等级人数人，
D等级人数人，
∴；
八年级C等级人数人，
B等级出现的人数最多，故众数为9分，
故答案为：，9；
【分析】
（1）根据频数=样本容量×百分比可先计算出七年级各等级的人数，然后根据加权平均的计算方法可求得的值；再根据各小组频数之和等于样本容量可求得八年级C等级人数，然后可将条形图补充完整；
（2）根据题意补充条形统计图即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解.
（1）解：七年级A等级人数人，
B等级人数人，
C等级人数人，
D等级人数人，
∴；
八年级C等级人数人，
B等级出现的人数最多，故众数为9分，
故答案为：，9；
（2）解：依题意，条形统计图补充如图，
（3）解：原说法不正确；理由：
抽取的样本不一定能代表整体人数的情况；且七年级和八年级整体人数未知．
19．（2025·西湖模拟）如图，在平行四边形中，对角线交于点，点分别为，的中点，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E、F分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴．
答：线段．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分”可得、，再结合线段中点的定义可得，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可求解；
（2）在Rt△AOB中，根据勾股定理求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可求解．
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E、F分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴．
20．（2025·西湖模拟）在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，．
（1）求函数，的表达式．
（2）当时，比较与的大小．（直接写出结果）
（3）若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵两个函数图象交于点，．
∴，
∴，，
∴，
∵点，在直线图象上，
，
解得，
∴；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知，当时，；
（3）解：设点C坐标为，
∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，
∴，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
整理得，
∴或，
∴点的坐标为或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）画出图象，观察图象即可判断求解；
（3）根据点的平移法则设点C坐标为，写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标．
（1）解：∵两个函数图象交于点，．
∴，
∴，，
∴，
∵点，在直线图象上，
，
解得，
∴；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知，当时，；
（3）解：设点C坐标为，
∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，
∴，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
整理得，
∴或，
∴点的坐标为或．
21．（2025·西湖模拟）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点，，连接，，．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）求证：．
（3）若，，求线段的长．
【答案】（1）解：等边三角形，理由如下：
以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点，
，
，
为等边三角形；
（2）证明：为等边三角形，
，
，，
，
，
；
（3）解：为等边三角形，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据题意得到，再根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；
（2）根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠AEF=∠ABE+∠BAE，∠AFE=∠C+∠CAF，结合已知可得∠ABE=∠FAC，∠C=∠BAE，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可求解；
（3）根据等边三角形的三边相等可得，由相似三角形对应边成比例可得比例式求解．
（1）解：等边三角形，理由如下：
以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点，
，
，
为等边三角形；
（2）证明：为等边三角形，
，
，，
，
，
；
（3）解：为等边三角形，，
，
，
，
，
．
22．（2025·西湖模拟）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法．
【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计）
【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，）
【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空：
（2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示．
解：设，因为，
所以．
同理，因为，
所以．
因为，
解得．
即可求得的长．
【答案】解：（1）
设，
，
解得，
故的高度为；
（2）①；②
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】
（2）解：设，因为，
所以．
同理，因为，
所以．
因为，
解得．
即可求得的长．
故答案为：①；②．
【分析】
（1）根据等腰三角形的判定和性质证明，设AD=BD=x，根据锐角三角函数tan∠ACD=得关于x的方程，解方程可求解；
（2）设AD=x，根据锐角三角函数tanα=、tanβ=分别将BD、CD表示出来，然后根据线段的和差BC=BD+CD即可求解．
23．（2025·西湖模拟）设二次函数（为常数，）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 …
… 1 …
（1）若，，
①求二次函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标；
②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大；
（2）当，时，求的取值范围．
【答案】（1）解：①∵，，
∴将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴该函数图象的顶点坐标为；
②∵函数图象的顶点坐标为，且，
∴当时，随的增大而增大；
（2）解：∵，∴将代入，得，
∴，
将代入
，得，
解得，即，
将代入，
得，
即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）①将，代入，列关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求解；
②根据二次函数的性质即可求解；
（2）将代入，求得，将代入，求得，再将代入，整理即可求解．
（1）解：①∵，，
∴将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴该函数图象的顶点坐标为；
②∵函数图象的顶点坐标为，且，
∴当时，随的增大而增大；
（2）解：∵，∴将代入，
得，
∴，
将代入
，得，
解得，即，
将代入，
得，
即．
24．（2025·西湖模拟）如图，矩形内接于，是对角线，点在上（不与点重合），连接分别交于点，，于点，，连接交于点．
（1）如图1，当点为的中点，时，
①求证：．
②求的长．
（2）如图2，若，求的值．
【答案】（1）①证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，，
∵，
∴是的直径，
∴是中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是的直径，
∴是中点，
∵，，
∴，
∴，
由①知：，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴设，则，，
∴，
由（1）知∶，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
过P作于M，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①根据矩形的四个角都是直角可得∠BCD=90°，结合已知，根据同角的余角相等可得，根据圆周角定理可得，然后由等量代换即可求解；
②连接，，根据圆周角定理的推论可得、是的直径，则是中点，也是中点，根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，结合①中，以及，结合①的结论可求得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理可得，根据弧、圆心角的关系可求出，由角的和差求得∠COE的度数，再根据弧长公式计算即可求解；
（2）根据锐角三角函数，可设，则，，，根据勾股定理求出，结合（1）中，求出，，证明，可求出，在中，根据锐角三角函数，过P作于M，根据等角的正切值相等可得，设，则，在中，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，结合，可求出，则可求出，，，将AP、PH代入所求代数式计算即可求解．
（1）①证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，，
∵，
∴是的直径，
∴是中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是的直径，
∴是中点，
∵，，
∴，
∴，
由①知：，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴设，则，，
∴，
由（1）知∶，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
过P作于M，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
1 / 1浙江省杭州市西湖区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·西湖模拟）下列各数中，比小的数是（　　）
A．3 B．0 C． D．
2．（2025·西湖模拟）如图，一个几何体由5个大小相同的正方体组成，该几何体的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·西湖模拟）“杭州六小龙”—宇树科技、游戏科学、强脑科技、深度求索、云深处科技、群核科技正在用硬科技重新定义中国创新．据统计，2024年杭州数字经济核心产业增加值达6305亿元，占全市GDP比重，远超全国平均水平．数据“6305亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·西湖模拟）下列式子计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·西湖模拟）如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知，延长交于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·西湖模拟） 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（　　）
A．8株 B．9株 C．10株 D．11株
7．（2025·西湖模拟）已知是实数，若，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·西湖模拟）《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·西湖模拟）已知二次函数（是常数，）的图象经过点，，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
10．（2025·西湖模拟）如图，在正方形中，点为的中点，点在以为直径的半圆上，，延长，分别交于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·西湖模拟）计算：　 　；　 　．
12．（2025·西湖模拟）分解因式： 　 　．
13．（2025·西湖模拟） 有3张仅有编号不同的卡片，编号分别是2，3，4. 从中随机抽取一张，记下编号后放回，再随机抽取一张记下编号，则两次抽到的编号都是偶数的概率等于　 　.
14．（2025·西湖模拟）如图，的切线与直径的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为　 　°．
15．（2025·西湖模拟）已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是　 　．
16．（2025·西湖模拟）如图是一张菱形纸片，点在边上，，把沿直线折叠得到，点落在的延长线上．若恰好平分，则　 　°，　 　．
17．（2025·西湖模拟）以下是芳芳解不等式组的解答过程：
解：由①，得，所以．
由②，得，所以，所以．
所以原不等式组的解是．
芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
18．（2025·西湖模拟）某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）．
年级 平均数 中位数 众数
七年级 分 9分 9分
八年级 8.8分 9分 分
（1）根据以上信息填空： ， ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由．
19．（2025·西湖模拟）如图，在平行四边形中，对角线交于点，点分别为，的中点，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，求线段的长．
20．（2025·西湖模拟）在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，．
（1）求函数，的表达式．
（2）当时，比较与的大小．（直接写出结果）
（3）若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
21．（2025·西湖模拟）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点，，连接，，．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）求证：．
（3）若，，求线段的长．
22．（2025·西湖模拟）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法．
【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计）
【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，）
【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空：
（2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示．
解：设，因为，
所以．
同理，因为，
所以．
因为，
解得．
即可求得的长．
23．（2025·西湖模拟）设二次函数（为常数，）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 …
… 1 …
（1）若，，
①求二次函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标；
②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大；
（2）当，时，求的取值范围．
24．（2025·西湖模拟）如图，矩形内接于，是对角线，点在上（不与点重合），连接分别交于点，，于点，，连接交于点．
（1）如图1，当点为的中点，时，
①求证：．
②求的长．
（2）如图2，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：，
，
∴比小的数是．
故答案为：D．
【分析】根据有理数大小比较法则"①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．根据负数都小于零，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小"并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：一个几何体由5个大小相同的正方体组成，该几何体的俯视图为
，
故答案为：D．
【分析】根据"俯视图是从物体上面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示"并结合各选项即可求解．
．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6305亿，
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义并结合题意可求解.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵和不是同类项，不能合并，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项符合题意；
C、≠2a，
∴此选项不符合题意；
D 、≠2a6，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知2a2和a3不是同类项，所以不能合并；
B 、根据积的乘方法则“积的乘方等于把积中每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解．
5．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
故答案为：D．
【分析】根据对顶角相等，角的和差关系计算的度数，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可求解．
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：第5组植树 (株)，
这5个组的植树数量从小到大排列为：8株，8株，9株， 12株， 13株，
∴这5个组的植树数量中，中位数是9株，
故答案为：B .
【分析】根据算术平均数的定义，用植树总株数减去4个组植树数量可得第5组的植树数量，根据中位数的定义即可得.
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵是实数，若，，
∴，
∴此选项不符合题意；
B、∵是实数，若，，
∴，
∴此选项不符合题意；
C、∵是实数，若，，
∴c2＞0，
∴，
∴此选项符合题意；
D、∵是实数，若，，
∴a-c＞b，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变。由不等式的性质可判断求解．
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱，且人数为人，物价为钱，
即，
故答案为：A．
【分析】根据题中的两个相等关系“ 每个人出8钱-3=总物价， 每个人出7钱+4=总物价”列关于x、y的方程组并结合各选项即可判断求解．
9．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，，
∴
，
A、若，，
∴，，
∴此选项符合题意；
B、若，，则，正负无法确定，
∴不一定成立，
∴此选项不符合题意；
C、若，，则，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、若，，则，正负无法确定，
∴ 不一定成立，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，可求得，再结合各选项即可判断求解．
10．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，交于点J．设的中点为O，连接．设正方形的边长为．
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在Rt△EFH和Rt△ECH中
∴，
∴，
∵，，，
在Rt△AEF和Rt△AEB中
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADG和Rt△AFG中
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分线段，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接，，交于点J．设的中点为O，连接．设正方形的边长为．由题意，根据HL定理可分别证Rt△EFH≌Rt△ECH，Rt△AEF≌Rt△AEB，Rt△ADG≌Rt△AFG，由全等三角形的对应边相等可得，，再证明，根据tan∠GHF=tan∠BOJ=可求解.
11．【答案】4；
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，，
故答案为：4，．
【分析】根据有理数的乘方和二次根式的性质“”并结合合并同类二次根式法则计算即可求解．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．
故答案为（a+3）（a-3）．
【分析】观察此多项式的特点，没有公因式，符合平方差公式的特点，即可求解。
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
2 3 4
2 (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，2) (4，3) (4，4)
共有9种等可能的结果，其中两次抽到的编号都是偶数的结果有： (2，2)， (2，4)， (4，2)， (4，4)， 共4种，
∴两次抽到的编号都是偶数的概率为
故答案为：
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的编号都是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案.
14．【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案：35．
【分析】连接OP，根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后根据直角三角形两锐角互余可求出，再根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”即可求解．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，
，
即，
故，
由于点的横坐标是，
故点的横坐标是．
故答案为：．
【分析】将两个函数关系式联立解方程组可得关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系进行计算即可求解．
16．【答案】；
【知识点】公式法解一元二次方程；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，，
由折叠的性质得，
∵恰好平分，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
设，，则，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】由菱形的性质结合折叠的性质求得，，由平行线的性质列式，可求得；设，，则，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式，结合已知可得关于x的方程，解之可将x用含a的代数式表示出来，然后代入所求代数式计算即可求解．
17．【答案】解：芳芳的解答过程有错误，理由如下：
在解不等式①时，两边同乘以，不等号的方向没有改变，故错误；
在解不等式②时，去括号漏乘3，故错误；
正确解答如下：
由①，得，所以．
由②，得，所以，所以．
∴原不等式组的解是．
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【分析】由题意求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
18．【答案】（1），9
（2）解：依题意，条形统计图补充如图，
（3）解：原说法不正确；理由：
抽取的样本不一定能代表整体人数的情况；且七年级和八年级整体人数未知．
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：七年级A等级人数人，
B等级人数人，
C等级人数人，
D等级人数人，
∴；
八年级C等级人数人，
B等级出现的人数最多，故众数为9分，
故答案为：，9；
【分析】
（1）根据频数=样本容量×百分比可先计算出七年级各等级的人数，然后根据加权平均的计算方法可求得的值；再根据各小组频数之和等于样本容量可求得八年级C等级人数，然后可将条形图补充完整；
（2）根据题意补充条形统计图即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解.
（1）解：七年级A等级人数人，
B等级人数人，
C等级人数人，
D等级人数人，
∴；
八年级C等级人数人，
B等级出现的人数最多，故众数为9分，
故答案为：，9；
（2）解：依题意，条形统计图补充如图，
（3）解：原说法不正确；理由：
抽取的样本不一定能代表整体人数的情况；且七年级和八年级整体人数未知．
19．【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E、F分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴．
答：线段．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分”可得、，再结合线段中点的定义可得，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可求解；
（2）在Rt△AOB中，根据勾股定理求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可求解．
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E、F分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴．
20．【答案】（1）解：∵两个函数图象交于点，．
∴，
∴，，
∴，
∵点，在直线图象上，
，
解得，
∴；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知，当时，；
（3）解：设点C坐标为，
∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，
∴，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
整理得，
∴或，
∴点的坐标为或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）画出图象，观察图象即可判断求解；
（3）根据点的平移法则设点C坐标为，写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标．
（1）解：∵两个函数图象交于点，．
∴，
∴，，
∴，
∵点，在直线图象上，
，
解得，
∴；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知，当时，；
（3）解：设点C坐标为，
∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，
∴，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
整理得，
∴或，
∴点的坐标为或．
21．【答案】（1）解：等边三角形，理由如下：
以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点，
，
，
为等边三角形；
（2）证明：为等边三角形，
，
，，
，
，
；
（3）解：为等边三角形，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据题意得到，再根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；
（2）根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠AEF=∠ABE+∠BAE，∠AFE=∠C+∠CAF，结合已知可得∠ABE=∠FAC，∠C=∠BAE，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可求解；
（3）根据等边三角形的三边相等可得，由相似三角形对应边成比例可得比例式求解．
（1）解：等边三角形，理由如下：
以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点，
，
，
为等边三角形；
（2）证明：为等边三角形，
，
，，
，
，
；
（3）解：为等边三角形，，
，
，
，
，
．
22．【答案】解：（1）
设，
，
解得，
故的高度为；
（2）①；②
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】
（2）解：设，因为，
所以．
同理，因为，
所以．
因为，
解得．
即可求得的长．
故答案为：①；②．
【分析】
（1）根据等腰三角形的判定和性质证明，设AD=BD=x，根据锐角三角函数tan∠ACD=得关于x的方程，解方程可求解；
（2）设AD=x，根据锐角三角函数tanα=、tanβ=分别将BD、CD表示出来，然后根据线段的和差BC=BD+CD即可求解．
23．【答案】（1）解：①∵，，
∴将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴该函数图象的顶点坐标为；
②∵函数图象的顶点坐标为，且，
∴当时，随的增大而增大；
（2）解：∵，∴将代入，得，
∴，
将代入
，得，
解得，即，
将代入，
得，
即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）①将，代入，列关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求解；
②根据二次函数的性质即可求解；
（2）将代入，求得，将代入，求得，再将代入，整理即可求解．
（1）解：①∵，，
∴将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴该函数图象的顶点坐标为；
②∵函数图象的顶点坐标为，且，
∴当时，随的增大而增大；
（2）解：∵，∴将代入，
得，
∴，
将代入
，得，
解得，即，
将代入，
得，
即．
24．【答案】（1）①证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，，
∵，
∴是的直径，
∴是中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是的直径，
∴是中点，
∵，，
∴，
∴，
由①知：，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴设，则，，
∴，
由（1）知∶，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
过P作于M，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①根据矩形的四个角都是直角可得∠BCD=90°，结合已知，根据同角的余角相等可得，根据圆周角定理可得，然后由等量代换即可求解；
②连接，，根据圆周角定理的推论可得、是的直径，则是中点，也是中点，根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，结合①中，以及，结合①的结论可求得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理可得，根据弧、圆心角的关系可求出，由角的和差求得∠COE的度数，再根据弧长公式计算即可求解；
（2）根据锐角三角函数，可设，则，，，根据勾股定理求出，结合（1）中，求出，，证明，可求出，在中，根据锐角三角函数，过P作于M，根据等角的正切值相等可得，设，则，在中，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，结合，可求出，则可求出，，，将AP、PH代入所求代数式计算即可求解．
（1）①证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，，
∵，
∴是的直径，
∴是中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是的直径，
∴是中点，
∵，，
∴，
∴，
由①知：，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴设，则，，
∴，
由（1）知∶，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
过P作于M，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑