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2025年灯塔市九年级期中5月质量监测
数学试卷
(试卷满分120分，答题时间120分钟）
温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上,答题要求见答题卡，否则不给分.
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求.）
1．-2025的绝对值是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式计算正确的是（　　）
A．2a2 3a3＝6a6 B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．（a5）2＝a7 D．（ab2）3＝a3b6
5．某校初中篮球队共有25名球员，为了球队的健康发展和培养球员，要求从13岁到16岁每个年龄段都必须有球员，下表是该球队的年龄分布统计表：
年龄（单位：岁） 13 14 15 16
频数（单位：名） 3 11
对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数 B．平均数、方差 C．众数、方差 D．众数、中位数
6．如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．保持不变
7．若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
8．下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A．两直线平行,同旁内角互补
B．若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C．对顶角相等
D．如果那么
9．如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.任意掷一枚均匀的正方体骰子，“偶数点朝上”发生的概率为　 　．
12．神舟十三号飞船在距地面高度m的轨道上，将数字用科学记数法表示为
13．如图，某飞机于空中A处探测到正下方的目标C，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台B的俯角，则飞机所处位置A与指挥台B的距离是 ．
14．有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
15．如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ．
三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字）
16．(10分)（1）计算：；
（2）化简：．
17．(8分)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元．
（1）求采购每株A，B两种花卉各多少元钱．
（2）若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？
18．(8分)做家务劳动，能锻炼学生的动手和解决问题的能力，还能增强学生对家庭的责任感，某中学为了解该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，随机抽取部分学生调查了他们在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，将全部做家务的时间x（单位：小时）进行整理后分为四组：A：0≤x＜3，B：3≤x＜4，C：4≤x＜5，D：x≥5，并绘制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了　 　 名学生，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中C部分对应的圆心角为　 　 度；
（3）若该中学共有600名学生，请估计该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间不少于3小时的人数．
19．(8分)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝8m，CD的坡度为i＝1：，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（结果精确到1m）
（参考数据：tan27°≈0.5，1.7）
20．(8分)随着《哪吒2》的热映，周边文创商品火热销售，其中一款手办，其成本为30元/件，在试销过程中，经过调查得到如下表数据：
销售单价x（元/件） …… 40 50 60 70 80 ……
每天销售量y（件） …… 500 400 300 200 100 ……
（1）已知y与x满足一次函数关系，求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，这种手办每天获得的利润最大？最大利润为多少？
21．(8分)如图，MA是⊙O的切线，点A为切点，连接OM交⊙O于点D，过点A作AB∥OM交⊙O于点B，连接BO并延长交⊙O于点C，连接MC，BD，CD．
（1）求证：MC是⊙O的切线．
（2）若tan∠CBD，CD＝2，求线段CM的长．
22．(12分)【问题初探】
如图1，已知四边形ABCD是正方形，E为边CD上任意一点（点E不与点C，D重合），连接AE，作点D关于AE的对称点P，连接AP，EP，并延长EP交BC于点F，连接AF，过点F作FQ⊥AE，垂足为点Q，FQ交AP于点H．
（1）猜想AF与AQ的数量关系，并说明理由；
【深化探究】
（2）当AB＝4，DE＝1时，求AH的长；
【拓展应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（12，0），C（0，6），M（3，0），CN⊥CM，∠MCN的平分线交AB于点T，求MT的长．
23．(13分)新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，△ABC的三个顶点A（1，0），B（2，﹣1），C（4，3）都在抛物线y＝x2﹣4x+3上，我们把△ABC叫做抛物线y＝x2﹣4x+3的内接三角形，抛物线y＝x2﹣4x+3叫做△ABC的外接抛物线．
问题：
（1）已知点A（﹣1，1），B（1，1），则△ABO的外接抛物线的解析式为　 　 ；
（2）如图2，已知等边△ABO是抛物线y＝x2的内接三角形，求顶点A，B的坐标；
（3）如图2，已知Rt△ABO是抛物线y＝x2的内接三角形，∠AOB＝90°，求边AB与y轴的交点P的坐标；
（4）已知△ABC是抛物线y＝x2+bx+c的内接三角形，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
①当△ABC是等腰直角三角形时，求△ABC的面积；
②当点C在y轴上，且△ABC是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围．
．
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2025数学参考答案
一．选择题（每题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D D D D B C C B
填空题（每小题3分，共15分）
11 ． 12． 13． 14． 15．/
三、解答题（共8题，共75分）
16.(10分)解：（1）
＝3（﹣8）﹣3+2
＝﹣8；
（2）


．
17 (8分).解：（1）设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株．
由题意得：，
解得：，
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株；
（2）设采购A种花卉m株，则B种花卉（10000﹣m） 株，
由题意得：3m+5（10000﹣m）＝﹣2m+50000≤34000，
解得m≥8000，
∴最少购买A种花卉8000株．
18.(8分)解：（1）这次抽样调查的学生人数是：20÷40%＝50（名），
D组学生人数为：50﹣5﹣20﹣15＝10（名），
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）C对应的扇形圆心角的度数是：360°108°，
故答案为：108；
（3）600540（人），
答：估计该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间不少于3小时的人数为540人．
19. (8分)解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，tan∠DCE，
∴∠DCE＝30°，
∵CD＝8m，
∴DECD＝4（m），CECD＝4（m），
∴DE的长为4m；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝EA，DE＝FA＝4m，
设AC＝x m，
∵CE＝4m，
∴DF＝AE＝CE+AC＝（x+4）m，
在Rt△ACB中，∠BCA＝45°，
∴AB＝AC tan45°＝x（m），
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF tan27°≈0.5（x+4）m，
∵BF+AF＝AB，
∴0.5（x+4）+4＝x，
解得：x＝48≈15，
∴AB≈15m，
∴塔AB的高度约为15m．
20(8分).解：（1）设y与x的关系式为：y＝kx+b（k≠0，b为常数），
把x＝40，y＝500和x＝50，y＝400代入得，
解得，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+900；
（2）设这种手办每天获得的利润为w元，
由题意得w＝（x﹣30）（﹣10x+900）
＝﹣10x2﹣1200x﹣27000
＝﹣10（x﹣60）2+9000，
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴w有最大值，
当x＝60时，w大＝9000，
答：销售单价定为60元时，这种手办每天获得的利润最大，最大利润是9000元．
21.(8分)（1）证明；连接OA，
∵MA是⊙O的切线，
∴∠OAM＝90°，
∵AB∥OM，
∴∠ABO＝∠MOC，∠BAO＝∠MOA，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∴∠MOC＝∠MOA，
∵OA＝OC，OM＝OM，
∴△MOC≌△MOA
∴∠MCO＝∠OAM＝90°，
∴OC⊥MC，
∵OC是⊙O的半径，
∴MC是⊙O的切线．
（2）解：过D作DN⊥CM于N，
∴∠ONC＝90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∵tan∠CBD，CD＝2，
∴BD＝4
由勾股定理得，BC2＝（4）2+（2）2，
∴BC＝10，
∴OC＝5，
∵∠BDC＝∠BCM＝90°，
∴∠DCM+∠DCB＝90°，∠DCM+∠DCB＝90°，
∴∠DCM＝∠DBC，
∵∠BDC＝∠DNC，
∴△DCN∽△CBD，
∴，
∴CN＝4，DN＝2，
∵∠DNM＝∠OCM＝90°，∠DMN＝∠OMC，
∴△DMN∽△OMC，
∴，
∴CM．
22 (12分)解：（1）．理由如下：
由轴对称可知，AD＝AP，DE＝PE，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△APE（SSS），
∴∠DAE＝∠PAE，
∴∠D﹣∠APE＝90°，
∴∠APF＝180°﹣∠APE＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠B＝∠APF，AB＝AP，
又∵AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△APF（HL），
∴∠BAF＝∠PAF，
∴，
∵FQ⊥AE，
∴∠AQF＝90°，
在Rt△AFQ中，，
∴．
（2）由（1）知，BF＝PF，PE＝DE＝1，∠FAQ＝45°，∠AQF＝90°，
∴∠AFQ＝45°，∠FQE＝∠AQF＝90°，
∴∠FAQ＝∠AFQ，
∴AQ＝FQ，
∵∠APF＝∠B＝90°，∠AHQ＝∠FHP，
∴180°﹣∠AHQ﹣∠AQH＝180°﹣∠FHP﹣∠FPH，
∴Rt△QAH≌Rt△QFE（ASA），
∴AH＝EF，
设BF＝x，则CF＝4﹣x，
∴EF＝EP+PF＝1+x，CE＝CD﹣DE＝3，
在Rt△CFE中，由勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，
∴（4﹣x）2+32＝（x+1）2，
∴x＝2.4，
∴EF＝1+x＝3.4，
∴AH＝3.4．
（3）如图，构造正方形BCDE，由（1）知 FT＝DF+BT，
∴DF＝2OM＝6，EF＝12﹣DF＝6，
设BT＝y，则FT＝6+y，ET＝12﹣y，
在Rt△TEF中，EF2+ET2＝FT2，
∴62+（12﹣y）2＝（6+y）2，
∴y＝4，
∴AT＝6﹣y＝2，
∴．
23.(13分)解：（1）∵A（﹣1，1），B（1，1），
∴对称轴为直线x＝0，即y轴，
∵O（0，0），
∴设抛物线解析式为y＝ax2，
将A（﹣1，1）代入得a＝1，
∴y＝x2，
故答案为：y＝x2；
（2）设AB与y轴交于点M，
∵△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝∠A＝∠B＝60°，OA＝OB＝AB，
∴∠AOM＝30°，
设BM＝m，则OMm，
∴B（m，），
将B坐标代入y＝x2得，m（m＝0不合题意，舍去），
∴点A的坐标是，点B的坐标是；
（3）如图，过点A作 AC⊥x轴于点C，过点B作 BD⊥x轴于点D．
设点，点，
∵∠AOB＝∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°∠AOC+∠OAC＝90°
∴∠OAC＝∠BOD，
∴△AOC∽△OBD．
∴，即OC OD＝BD AC，
∴，
解得x1x2＝﹣1或x1x2＝0（舍去）．
设直线AB的解析式为y＝kx+m（k≠0）．
由
得x2﹣kx﹣m＝0．
∵x1x2＝﹣m＝﹣1，
∴m＝1．
∵当x＝0时，y＝m＝1，
∴点P的坐标是（0，1）；
（4）①如图，设抛物线的对称轴交AB于点D．
由抛物线和等腰直角三角形的对称性，
得AD＝BD，CD⊥AB，∠DCB＝∠DCA＝45°
∴CD＝BD＝AD＝a．
∵对称轴为，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
将点B，C的坐标分别代入y＝x2+bx+c，
得，
解得a＝1或 a＝0（舍去）．
∴AB＝2a＝2，CD＝1．
∴．
②∵点A和点B在x轴上，点C在y轴上，
若当点A和点B在y轴同侧时，则△ABC为钝角三角形，
如图，
此时∠ABC＞90°或∠BAC＞90°，
∵抛物线开口向上，
∴c＞0；
若∠ACB＞90°时，则可先讨论∠ACB＝90°的c值，
如图，
设A（x1，0），B（x2，0），
∴x1 x2＝c，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCB＝90°﹣∠OCA，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴△AOC∽△COB，
∴，即，
∴﹣x1x2＝c2，
∴﹣c＝c2，
解得x＝﹣1或c＝0（舍去），
∴此时﹣1＜c＜0时，∠ACB＞90°；
综上，c＞0或﹣1＜c＜0．

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