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平度市 2025 年高考模拟检测（三）
数学试题 2025.05
本试卷共 4 页，19 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置
上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共 8 小题．每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 的子集的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
2．已知 的展开式中 的系数为 ，则
A.2 B.-1 C.1 D.-2
3．若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则 ， 的值分
别为
A. B.
C. D.
4．已知正项等差数列 满足 ，则
A．4050 B．2025 C．4048 D．2024
5．细胞在适宜环境下的繁殖通常符合 类型的模型，假设某种细胞的初始
数量为 ，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过 个单位时间后，
细胞总数 （万个）会呈指数增长．设 ，变换后得到线性回归方程
高三数学试题 第 1页（共 4页）
，已知该回归方程的样本中心为 ，则
A． B．0.596 C． D．0.206
6．已知三个函数 ， ， 的零
点依次为 ， ， ，则
A. B. C. D.
7．已知等边 的边长为 为它所在平面内一点， ，
则 的最大值为
A． B． C． D．
8.正四棱台 中， ， ， 为棱 的中
点，当正四棱台的体积最大时，平面 截该正四棱台的截面面积是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题．每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选
错的得 0 分．
9．已知函数 则下列说法正确的是
A. 的定义域是
B. 是奇函数
C. 是 的一个周期
D. 是 的一个对称中心
10．已知曲线 其中 则
A. 存在 使得 为两条直线
B. 不存在 使得 为圆
C. 若 为双曲线，则 越大， 的离心率越大
D. 若 为椭圆，则 越大， 的离心率越小
高三数学试题 第 2页（共 4页）
11．设函数 ,则
A.当 时， 没有零点
B.当 时， 在区间 上不存在极值
C.存在实数 ，使得曲线 为轴对称图形
D.存在实数 ，使得曲线 为中心对称图形
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12.已知曲线 在 处的切线与直线 垂直，则
= ．
13.若圆 上总存在两个点到点 的距离为 3，则实数 取值范围是
__________________
14.已知 的面积为 , , 分别为 , 的中点，设
则 取最大值时， = ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15．（本题满分 13 分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机
抽出 件进行检验，假设每箱产品中均恰有 件不合格品．
(1)若 求检验一箱产品时恰好抽到 件不合格品的概率；
(2)若检验一箱产品时至少抽到 件不合格品的概率大于 ，求 的最小值.
16．（本题满分 15 分）
设函数
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
高三数学试题 第 3页（共 4页）
17．（本题满分 15 分）
如图，在三棱柱 中，平面 平面
, .
(1)若 分别为 的中点，证明： 平面
；
(2)当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求平面 与平面
夹角的余弦值.
18．（本题满分 17 分）
已知抛物线 的焦点为 ，过 作互相垂直的两条直线
，这两条直线与抛物线 分别交于 和 两点，其中点 在第一象
限.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)求四边形 面积的最小值；
(3)证明：直线 与直线 的交点在定直线上.
19．（本题满分 17 分）
已知数列 的项数均为 ，且 ,
的前 项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义
，其中 表示数集 中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
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