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2025年浙江省中考数学模拟试卷（8）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 宜城市模拟）的倒数是（　　）
A． B．2025 C． D．﹣2025
2．（2025 长沙二模）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
3．（2025 新抚区模拟）为培养学生利用现代信息技术解决数学问题的能力，十堰经开区数学教研室在本学期组织辖区内初中生开展了“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”比赛活动．下列图形是部分参赛作品，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 禅城区二模）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a2÷a3＝a
5．（2025 市中区模拟）某中学对九年级6个班的学生骑自行车上学的情况进行了调查，得到各班骑自行车上学的人数数据为5，10，10，12，14，9．对于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．平均数是10 B．众数是10 C．中位数是11 D．方差是
6．（2025 芜湖一模）一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点A（6，8），点B（3，4），点C（10，4），则点D的坐标是（　　）
A．（4，2） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，2）
7．（2025 玉环市二模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025 诸暨市二模）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E与点F，交AD，BC于点G与点H，若正方形的边长是2，则四边形OEPF的周长是（　　）
A．2 B． C．4 D．
9．（2025 红安县模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　）
A．若x1+x2＜0，则y1 y2＜0 B．若x1+x2＞0，则y1 y2＞0
C．若y1 y2＜0，则x1 x2＜0 D．若y1 y2＞0，则x1 x2＜0
10．（2025 黄山一模）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC边上一点，F是CD边上一点，∠EAF＝60°，连接EF交AC于点G，若AB＝4，则下列结论错误的是（　　）
A．EF的最小值为 B．CG的最大值为1
C．△CEF面积的最大值是 D．EG GF的最小值是3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 深圳模拟）分解因式：8m2n+4m＝　 　 ．
12．（2025 朝阳区一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0无实数根，则c的取值范围是 　 　 ．
13．（2025 吴兴区二模）如图，BD是⊙O的直径，点A在DB的延长线上，AC是⊙O的切线，C为切点，连结CO，CD，若∠D＝25°，则∠A的度数为 　 　 ．
14．（2025 湖北模拟）某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮30s，黄灯亮5s，红灯亮25s循环显示，小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是　 　 ．
15．（2025 东阳市二模）如图，在△ABC中，BD垂直平分AC，点E，F分别是AB，BD的中点，连结AF，交DE于H，延长AF交BC于点G．若BG＝2，则AB的长为 　 　 ．
16．（2025 漯河模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝3，D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为直角边按如图所示的方向作Rt△DBE，使得∠DBE＝90°，且BE：BD＝1：，F是边BC上的一点，BF＝，连接EF，则BE的长的最小值为　 　 ，EF的长的最小值为　 　 ．
三．解答题（共8小题，其中第17-22题每题8分，第23题10分，第24题每题12分，共72分）
17．（2025 化州市一模）计算：．
18．（2025 湖南模拟）解方程组：．
19．（2025 望城区一模）已知：如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM＝DN．
（1）求证：△BDN≌△CDM；
（2）若∠AMC＝80°，则∠N＝ 　 　 °．
20．（2025 平顶山一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是BC延长线上一点，点E，F分别是AB，AC的中点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠ACD的平分线CP（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接EF并延长EF交CP于点G，证明：AE＝CG；
（3）当∠B＝30°，EF＝1时，直接写出AB的值为 　 　 ．
21．（2025 海门区二模）某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成20道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表．
组别 正确题数x 人数
A 20 10
B 16≤x＜20 15
C 12≤x＜16 25
D 8≤x＜12 m
E 0≤x＜8 n
根据以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的m＝　 　 ，n＝　 　 ，并补全图1：
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是　 　 ；
（3）已知该校共有2000名学生，如果答对题数x不小于16个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数．
22．（2025 连山区一模）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），已知y与x的函数图象如图所示．
（1）填空：A、C两海岛间的距离为 　 　 km，a＝ 　 　 ；
（2）求线段PN所表示的函数关系式；
（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长．
23．（2025 金华模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（﹣2，﹣3）．
（1）请用含a的代数式表示b．
（2）若该抛物线关于y轴对称后的图象经过点（3，0），求该抛物线的函数表达式．
（3）当1＜x＜3时，对于每一个x的值，y＜x始终成立，试求a的取值范围．
24．（2025 双城区一模）△ABC内接于⊙O，F为上一点，连接OF、CF，OF交弦AB于点D，若∠ACF＝∠BCF．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接AO，若AB＝AC，求证：AO⊥BC．
（3）在（2）的条件下，延长FO交⊙O于点E，过点F作FN⊥AC垂足为N，过点E作EM⊥AC垂足为M，若AN＝3cm，MN＝20cm，求DF的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 宜城市模拟）的倒数是（　　）
A． B．2025 C． D．﹣2025
【点拨】利用倒数的定义求解即可．
【解析】解：的倒数是﹣2025．
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（2025 长沙二模）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：175000000000＝1.75×1011．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2025 新抚区模拟）为培养学生利用现代信息技术解决数学问题的能力，十堰经开区数学教研室在本学期组织辖区内初中生开展了“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”比赛活动．下列图形是部分参赛作品，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此分析判断即可．
【解析】解：中心对称图形的概念逐项分析判断如下：
A、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
4．（2025 禅城区二模）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a2÷a3＝a
【点拨】根据同底数幂的乘除法运算法则以及合并同类项法则即可求出答案．
【解析】解：A、a2与a3不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝a5，故B符合题意．
C、原式＝a6，故C不符合题意．
D、原式＝，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法运算法则以及合并同类项法则，本题属于基础题型．
5．（2025 市中区模拟）某中学对九年级6个班的学生骑自行车上学的情况进行了调查，得到各班骑自行车上学的人数数据为5，10，10，12，14，9．对于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．平均数是10 B．众数是10 C．中位数是11 D．方差是
【点拨】根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．
【解析】解：A、平均数是（5+10+10+12+14+9）÷6＝10，故本选项说法正确，不符合题意；
B、∵10出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是10，故本选项说法正确，不符合题意；
C、把这些数从小到大排列为：5，9，10，10，12，14，则中位数是＝10，故本选项说法错误，符合题意；
D、方差为：×[（5﹣10）2+2×（10﹣10）2+（12﹣10）2+（14﹣10）2+（9﹣10）2]＝，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
6．（2025 芜湖一模）一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点A（6，8），点B（3，4），点C（10，4），则点D的坐标是（　　）
A．（4，2） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，2）
【点拨】利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比为，然后把C点的横纵坐标都乘以得到其对应点D的坐标．
【解析】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似，
而点A（6，8），点B（3，4），
∴相似比为＝，
∴点C（10，4）的对应点D的坐标是（10×，4×），即D（5，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（2025 玉环市二模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】求出不等式组中各个不等式的解集，在数轴上表示这两个解集的公共部分即可．
【解析】解：，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤3，
将两个不等式的解集在数轴上表示如下：
故选：A．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握一元一次不等式组解法以及在数轴上表示不等式组解集的方法是正确解答的关键．
8．（2025 诸暨市二模）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E与点F，交AD，BC于点G与点H，若正方形的边长是2，则四边形OEPF的周长是（　　）
A．2 B． C．4 D．
【点拨】由勾股定理求出AC＝，OA＝OC＝，证明△APE和△BPF都是等腰直角三角形，则PE＝AE，PF＝BF，进而得OE+PE＝OA＝，OF+PF＝OB＝，则OE+PE+OF+PF＝，由此即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，且边长为2，对角线AC，BD相交于点O，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝AC，∠OAB＝∠OBC＝45°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
∴OA＝OB＝AC＝，
∵PE⊥BD，PF⊥AC，∠OAB＝∠OBC＝45°，
∴△APE和△BPF都是等腰直角三角形，
∴PE＝AE，PF＝BF，
∴OE+PE＝OE+AE＝OA＝，OF+PF＝OF+BF＝OB＝，
∴OE+PE+OF+PF＝＝，
∴四边形OEPF的周长是．
故答案为：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键．
9．（2025 红安县模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　）
A．若x1+x2＜0，则y1 y2＜0 B．若x1+x2＞0，则y1 y2＞0
C．若y1 y2＜0，则x1 x2＜0 D．若y1 y2＞0，则x1 x2＜0
【点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解析】解：∵反比例函数的常量k＜0，
∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数图象上，
∴x1y1＜0，x2y2＜0，
A、若x1+x2＜0，则y1 y2＞0或y1 y2＜0，选项错误，不符合题意；
B、若x1+x2＞0，则y1 y2＞0或y1 y2＜0，选项错误，不符合题意；
C、若y1 y2＜0，则x1 x2＜0，选项正确，符合题意；
D、若y1 y2＞0，则x1 x2＞0，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的增减性是关键．
10．（2025 黄山一模）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC边上一点，F是CD边上一点，∠EAF＝60°，连接EF交AC于点G，若AB＝4，则下列结论错误的是（　　）
A．EF的最小值为 B．CG的最大值为1
C．△CEF面积的最大值是 D．EG GF的最小值是3
【点拨】先证明△AEF是等边三角形；得出EF＝AE，说明当AE最小时，EF最小，根据垂线段最短，得出当AE⊥BC时，AE最小，根据等边三角形性质和勾股定理求出最小值即可判断A选项；根据CG＝AC﹣AG，AC＝4为定值，得出当AG最小时，CG最大，根据AG⊥EF时，AG最小，此时CG最大，根据等边三角形性质和勾股定理求出结果，即可判断B选项；根据，得出，说明当△AEF最小时，△CEF面积最大，根据△AEF为等边三角形，得出当边长EF最小时，△AEF面积最小，求出△AEF的最小值为，最后求出结果即可判断C选项；设EG＝x，EF＝t，根据，根据二次函数性质，说明EG GF有最大值，求出最大值为3，即可判断D选项．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠B＝∠BAC＝60°，
∴∠ACF＝∠BCD﹣∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠ACF，
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴AE＝AF，
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
∴EF＝AE，
∴当AE最小时，EF最小，
∵垂线段最短，
∴当AE⊥BC时，AE最小，
∵△ABC为等边三角形，
∴此时，
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：，
∴EF的最小值为，
故A正确，不符合题意；
∵CG＝AC﹣AG，AC＝4为定值，
∴当AG最小时，CG最大，
当AG⊥EF时，AG最小，此时CG最大，
∵△AEF是等边三角形，
∴当AG⊥EF时，，，
∴∠BAE＝60°﹣∠EAG＝30°，
∴此时AE平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴此时AE⊥BC，
∴此时，
∴，
∴此时，
在直角三角形AEG中，由勾股定理得：，
∴此时CG＝4﹣3＝1，
即CG的最大值为1，
故B正确，不符合题意；
∵△BAE≌△CAF，
∴S△CAF＝S△BAE，
∴S四边形AECF＝S△CAF+S△ACE＝S△BAE+S△ACE＝S△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴当△AEF最小时，△CEF面积最大，
∵△AEF为等边三角形，
∴当边长EF最小时，△AEF面积最小，
∵EF的最小值为，此时EF上的高为3，
∴△AEF的最小值为，
∴△CEF面积的最大值为，
故C正确，不符合题意；
∵EG+GF＝EF，
∴GF＝EF﹣EG，
∴EG GF＝EG（EF﹣EG），
设EG＝x，EF＝t，
∴EG GF＝EG（EF﹣EG）
＝x（t﹣x）
＝﹣x2+xt
＝，
∴当时，EG GF取最大值，
∴此时，
∴此时EG＝GF，
∵△AEF为等边三角形，
∴此时AG⊥EF，，
∴此时∠BAE＝60°﹣∠EAG＝30°，
∴AE平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴此时AE⊥BC，
∴此时，
∴，
∴，
即EG GF的最大值为3，
故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 深圳模拟）分解因式：8m2n+4m＝　4m（2mn+1）　 ．
【点拨】利用提公因式法进行分解，即可解答．
【解析】解：8m2n+4m
＝4m 2mn+4m 1
＝4m（2mn+1），
故答案为：4m（2mn+1）．
【点睛】本题考查了提公因式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（2025 朝阳区一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0无实数根，则c的取值范围是 　c＞1　 ．
【点拨】根据一元二次方程根的判别式得到Δ＜0，即22﹣4×1×c＜0，然后解不等式即可得到c的取值范围．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0无实数根，
∴Δ＜0，即22﹣4×1×c＜0，解得c＞1，
∴c的取值范围是c＞1．
故答案为c＞1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
13．（2025 吴兴区二模）如图，BD是⊙O的直径，点A在DB的延长线上，AC是⊙O的切线，C为切点，连结CO，CD，若∠D＝25°，则∠A的度数为 　40°　 ．
【点拨】由切线的性质得∠OCA＝90°，而∠AOC＝2∠D＝50°，则∠A＝90°﹣∠AOC＝40°，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵AC是⊙O的切线，C为切点，
∴AC⊥OC，
∴∠OCA＝90°，
∵∠D＝25°，
∴∠AOC＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝40°，
故答案为：40°．
【点睛】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，推导出AC⊥OC，并且求得∠AOC＝50°是解题的关键．
14．（2025 湖北模拟）某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮30s，黄灯亮5s，红灯亮25s循环显示，小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是　0.5　 ．
【点拨】由绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，红灯亮25秒，直接利用概率公式求解即可得到答案．
【解析】解：∵自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮30s，黄灯亮5s，红灯亮25s循环显示，
∴正好遇到绿灯的概率为：．
故答案为：0.5．
【点睛】本题主要考查了概率公式，熟记概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
15．（2025 东阳市二模）如图，在△ABC中，BD垂直平分AC，点E，F分别是AB，BD的中点，连结AF，交DE于H，延长AF交BC于点G．若BG＝2，则AB的长为 　6　 ．
【点拨】由线段垂直平分线的性质推出D是AC的中点，AB＝BC，判定DE是△ABC的中位线，推出DE∥BC，得到∠HDF＝∠FBG，∠DHF＝∠BGF，判定△DHF≌△BGF（AAS），得到DH＝BG＝2，由平行线等分线段定理推出AH＝GH，判定DH是△AGC的中位线，推出CG＝2DH＝4，即可求出BC的长．
【解析】解：∵BD垂直平分AC，
∴D是AC的中点，AB＝BC，
∵E是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠HDF＝∠FBG，∠DHF＝∠BGF，
∵F是BD的中点，
∴DF＝BF，
∴△DHF≌△BGF（AAS），
∴DH＝BG＝2，
∵AD＝DC，DE∥BC，
∴AH＝GH，
∴DH是△AGC的中位线，
∴CG＝2DH＝4，
∴BC＝BG+CG＝2+4＝6．
∴AB＝BC＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，关键是判定△DHF≌△BGF（AAS），推出DH＝BC，由三角形中位线定理得到CG＝2DH．
16．（2025 漯河模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝3，D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为直角边按如图所示的方向作Rt△DBE，使得∠DBE＝90°，且BE：BD＝1：，F是边BC上的一点，BF＝，连接EF，则BE的长的最小值为　　 ，EF的长的最小值为　3　 ．
【点拨】连接AE并延长，交CB的延长线于点G，证明△ABE∽△CBD，得∠BAE＝∠C＝30°，当点D在边AC上运动时，点E随之在边AG上运动．当BE⊥AG时，BE的值最小．在Rt△ABE中，运用30°角所对的直角边等于斜边一半可得．当EF⊥AG时，EF的值最小．证明△GEF∽△GAC，根据相似三角形的判定与性质可得EF＝3．
【解析】解：如图，连接AE并延长，交CB的延长线于点G，
在Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠EBA+∠ABD＝∠ABD+∠DBC，即∠EBA＝∠DBC，
∵，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠BAE＝∠C＝30°，
∴当点D在边AC上运动时，点E随之在边AG上运动，
当BE⊥AG时，BE的值最小，
在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，
∴，
当EF⊥AG时，EF的值最小，
在Rt△ABG中，∠BAE＝30°，
，
∴，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝90°，
∴EF∥AC，
∴△GEF∽△GAC，
∴，即，
解得EF＝3，
故答案为：，3．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，垂线段最短，相似三角形的判定与性质，掌握以上性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17-22题每题8分，第23题10分，第24题每题12分，共72分）
17．（2025 化州市一模）计算：．
【点拨】先根据负整数指数幂、绝对值的性质、算术平方根的定义计算，再合并即可．
【解析】解：
＝9+
＝．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（2025 湖南模拟）解方程组：．
【点拨】涉及加减消元法解二元一次方程组，将①×3+②消去y解得，从而代入②得到y＝1即可．
【解析】解：，
由①×3+②得；
将代入②得，
解得y＝1；
∴．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
19．（2025 望城区一模）已知：如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM＝DN．
（1）求证：△BDN≌△CDM；
（2）若∠AMC＝80°，则∠N＝ 　100　 °．
【点拨】（1）求出BD＝DC，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）根据邻补角定义求出∠DMC＝100°，再根据全等三角形的性质求解即可．
【解析】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
在△BDN和△CDM中，
，
∴△BDN≌△CDM（SAS）；
（2）解：∵∠AMC＝80°，∠AMC+∠DMC＝180°，
∴∠DMC＝100°，
∵△BDN≌△CDM，
∴∠N＝∠DMC＝100°，
故答案为：100．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
20．（2025 平顶山一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是BC延长线上一点，点E，F分别是AB，AC的中点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠ACD的平分线CP（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接EF并延长EF交CP于点G，证明：AE＝CG；
（3）当∠B＝30°，EF＝1时，直接写出AB的值为 　　 ．
【点拨】（1）利用尺规作图作出角平分线即可；
（2）通过证明△AEF≌△CGF，然后根据全等三角形的性质进行推理论证；
（3）连接CE，利用等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥AB，然后解直角三角形进行计算求解．
【解析】（1）解：如图，射线CP即为所求；
（2）证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B．
又∵∠ACD＝∠A+∠B＝2∠A，
由作图可知，∠ACD＝2∠FCG，
∴∠A＝∠FCG．
由条件可知AF＝CF．
在△AEF和△CGF中，
，
∴△AEF≌△CGF（ASA），
∴AE＝CG．
（3）解：连接CE，
∵AC＝BC，点E，是AB的中点，
∴CE⊥AB，
由条件可知BC＝2EF＝2，
由条件可知，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图，作垂线和全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判定△AEF≌△CGF是解题的关键．
21．（2025 海门区二模）某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成20道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表．
组别 正确题数x 人数
A 20 10
B 16≤x＜20 15
C 12≤x＜16 25
D 8≤x＜12 m
E 0≤x＜8 n
根据以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的m＝　30　 ，n＝　20　 ，并补全图1：
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是　90°　 ；
（3）已知该校共有2000名学生，如果答对题数x不小于16个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数．
【点拨】（1）由B组的人数为15人，所占的比是15%，可求出参与的总人数，即样本容量，用样本容量乘以D组所占的百分比即可求出m的值，再让样本容量减去其他组的人数即可求出n的值；
（2）C组所占圆心角的度数，看C组所占整体的百分比，用360°去乘这个百分比即可；
（3）用样本估计总体，样本中优秀人数所占的百分比去估计总体，总人数乘以这个百分比即可．
【解析】解：（1）抽取学生总人数为：15÷15%＝100，
∴m＝100×30%＝30，
∴n＝100﹣30﹣25﹣15﹣10＝20，
故答案为：30；20；
（2）根据题意可得“C组”所对应的圆心角的度数是，
故答案为：90°；
（3）100优秀的人数有：100﹣10＝90（人），
∴2000名学生中，优秀的学生人数为：（人）．
【点睛】本题考查了样本估计总体，画条形统计图，圆心角的计算的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．（2025 连山区一模）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），已知y与x的函数图象如图所示．
（1）填空：A、C两海岛间的距离为 　70　 km，a＝ 　1.4　 ；
（2）求线段PN所表示的函数关系式；
（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长．
【点拨】（1）根据图象，由AC＝AB+BC计算A、C两海岛间的距离；根据速度＝路程÷时间求出海巡船的速度，再由时间＝路程÷速度求出海巡船从A岛到达C岛所用的时间，即a的值；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）利用待定系数法求出线段MN所表示的函数关系式；将y＝15分别代入线段PN所表示的函数关系式、线段MN所表示的函数关系式，求出对应x的值并求差即可．
【解析】解：（1）由图象可知，A、C两海岛间的距离为20+50＝70（km）；
海巡船的速度为20÷0.4＝50（km/h），
海巡船从A岛到达C岛用时70÷50＝1.4（h），
∴a＝1.4．
故答案为：70，1.4．
（2）设线段PN所表示的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标N（0.4，0）和P（1.4，50）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴线段PN所表示的函数关系式为y＝50x﹣20（0.4≤x≤1.4）．
（3）线段MN所表示的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将坐标M（0，20）和N（0.4，0）分别代入y＝k1x+b1，
得，
解得，
∴线段MN所表示的函数关系式为y＝﹣50x+20（0≤x≤0.4）．
当﹣50x+20＝15时，解得x＝0.1；
当50x﹣20＝15，解得x＝0.7；
0.7﹣0.1＝0.6（h）．
答：该海巡船能接收到该信号的时间有0.6h．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
23．（2025 金华模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（﹣2，﹣3）．
（1）请用含a的代数式表示b．
（2）若该抛物线关于y轴对称后的图象经过点（3，0），求该抛物线的函数表达式．
（3）当1＜x＜3时，对于每一个x的值，y＜x始终成立，试求a的取值范围．
【点拨】（1）将点（1，0），（﹣2，﹣3）代入抛物线整理即可得出结论；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）分类讨论，a＞0或a＜0，画出图形，建立不等式求解即可．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（﹣2，﹣3），
∴，
②﹣①得3a﹣3b＝﹣3，即a﹣b＝﹣1，
∴b＝a+1；
（2）∵该抛物线关于y轴对称后的图象经过点（3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣3，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣3，0），（1，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣1），
代入（﹣2，﹣3），得﹣3＝﹣3a，
解得a＝1，
∴y＝（x+3）（x﹣1），即该抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（3）y＝ax2+（a+1）x﹣2a﹣1．
记y'＝y﹣x＝ax2+ax﹣2a﹣1，
图象对称轴直线，
①当a＞0时，如图1，
当1＜x＜3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y′≤0，则1＜x＜3，y＜0成立．
即9a+3a﹣2a﹣1≤0，
解得，
所以；
②当a＜0时，如图2，
当1＜x＜3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y′≤0，则1＜x＜3，y'＜0成立，
即a+a﹣2a﹣1≤0，﹣1≤0恒成立，
所以或a＜0时，y＜x始终成立．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．
24．（2025 双城区一模）△ABC内接于⊙O，F为上一点，连接OF、CF，OF交弦AB于点D，若∠ACF＝∠BCF．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接AO，若AB＝AC，求证：AO⊥BC．
（3）在（2）的条件下，延长FO交⊙O于点E，过点F作FN⊥AC垂足为N，过点E作EM⊥AC垂足为M，若AN＝3cm，MN＝20cm，求DF的长．
【点拨】（1）连接OA，OB，利用圆周角定理解答即可；
（2）连接OC，OB，利用全等三角形的判定与性质得到∠CAO＝∠BAO，再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可；
（3）过点O作OH⊥AC于H，利用垂径定理得到AH＝CH，利用平行线的判定定理和平行线分线段成比例定理MH＝HN，利用等式的性质得到AN＝CM＝3cm；连接AE，BE，OB，过E作EG⊥BC于点G，利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到EG＝EM，连接EC，利用全等三角形的判定与性质求得AC＝26cm，BC＝BG﹣CG＝20cm；延长AO交BC于点P，利用勾股定理求得AP，设OB＝OA＝r，则OP＝24﹣r，利用勾股定理求得r值，OD则．
【解析】（1）证明：连接OA，OB，如图，
∵，
∴∠AOF＝2∠ACF，
∵，
∠BOF＝2∠BCF，
∵∠ACF＝∠BCF
∴∠AOF＝∠BOF，
∴；
（2）证明：连接OC，OB，如图，
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB（SSS），
∴∠CAO＝∠BAO，
∴AO⊥BC；
（3）解：过点O作OH⊥AC于H，如图，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
∵EM⊥AC，OH⊥AC，FN⊥AC，
∴EM∥OH∥FN，
∴，
∵OE＝OF，
∴MH＝HN．
∴CH﹣MH＝AH﹣NH，
即AN＝CM＝3cm．
连接AE，BE，OB，过E作EG⊥BC于点G，
由（1）知：∠AOF＝∠BOF，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线．
∴AE＝BE，
∵，
∴∠EAC＝∠EBC．
在△AEM和△BEG中，
，
∴△AEM≌△BEG（AAS），
∴EG＝EM，
连接EC，
在Rt△ECG和Rt△ECM中，
，
∴Rt△ECG≌Rt△ECM（HL），
∴CG＝CM＝3cm．
∵MN＝20cm，
∴BG＝AM＝23cm．
∴AC＝26cm，BC＝BG﹣CG＝20cm，
延长AO交BC于点P，
由（2）知：AO⊥BC，
∴∠APC＝90°，
∴cm．
∴AP＝＝24（cm），
设OB＝OA＝r，则OP＝24﹣r，
在Rt△BPO中，
∵OP2+BP2＝OB2，
∴（24﹣r）2+102＝r2，
∴，
∴OB＝cm．
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝AB＝＝13cm，
∴OD＝＝，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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