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武汉市第四十九中学高一五月月考数学试卷
总分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m α，n β，则直线m与n的关系是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面
【答案】D【分析】根据两平面平行的性质即可得出答案.
【详解】若α//β，则内的直线与内的直线没有交点，
所以当m α，n β，则直线m与n的关系是平行或异面.故选：D
2．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为
A．三棱锥有四个面是三角形 B．棱锥都有两个面是互相平行的多边形
C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱交于一点
【答案】B【详解】根据棱锥的定义可知B错误，棱锥的任何两个面都不平行.考点：棱锥的结构特征.
3. 如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直相交
C．相交但不垂直 D．垂直但不相交
答案：D
4. 如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是
A. 四点不共面 B. 四点共面
C. 三点共线 D. 三点共线
【答案】D【分析】根据公理一、二、三逐一排除即可．
【详解】直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点故面，故四点共面，所以A错．
点若与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错．
为中点，所以，，故，故C错．故选D．
【点睛】本题属于中档题，考查公理一、二、三的应用，学生不易掌握，属于易错题．
5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【分析】根据圆锥侧面展开图的形状先求出圆锥的母线，然后求出半径，再由圆锥的体积公式进行求解.
【详解】设母线长为，依题意得，，解得，于是圆锥的高为，
根据圆锥的体积公式，其体积为：. 故选：B
6．在正方体中，E，F分别为，的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】取的中点，连接，连接，可得或其补角为异面直线与所成的角，由为正三角形，即可求得直线与所成的角.
【详解】如图，取的中点，连接，连接，
因为分别为，的中点，所以，
又在正方体中，，所以，
则或其补角为异面直线与所成的角，
因为为正方体，则为正三角形，所以，
故直线与所成的角为.故选：C.
7．在边长为1的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由正方体性质可得平面，可得为直线与平面所成角，
【详解】如图，连接AC，交于O ，连接OC，
∵点，分别为，的中点，∴MN∥AC，
由正方体的性质可知CD⊥平面，∴又，，∴平面，
∴为直线AC与平面所成角，也即为直线与平面所成角，
在直角三角形ACO中，∴.故选：C
8.如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：
①与是异面直线； ②相交于一点；
③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形；
④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形；
其中错误的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．下列说法正确的是
A．过平面外一点作这个平面的平行线是唯一的
B．过平面外一点作这个平面的垂线是唯一的
C． 过直线外一点作这直线的垂面是唯一的
D．过直线外一点作这直线的平行平面是唯一的
【提示】根据点、直线和平面的位置关系分别进行判断即可；
【答案】BC；
10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． 平面ABCD
C．AE//BF D．三棱锥的体积为定值
【答案】ABD
【分析】根据线线垂直、线面平行、锥体体积、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，根据正方体的性质可知，
由于，平面，所以平面，
由于平面，所以，所以A选项正确.
B选项，根据正方体的性质可知，
由于平面，平面，所以平面，所以B选项正确.
D选项，对于三棱锥，三角形的面积为定值，
到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以C选项正确.

11．某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，设棱锥高为，体积为，现将容器以棱为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过，其中分别为棱的中点，则（ ）
A．水的体积为 B．水的体积为
C．图甲中的水面高度为D．图甲中的水面高度为
【答案】AC【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可.
【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为，
根据分别为棱的中点，则，而三棱柱与平行六面体的高相同，
则，
根据四棱锥与平行六面体底和高均相同，则，则
易知，则，故A正确，B错误，
图甲中上方的小四棱锥高为,则，则，
故图甲中的水面高度为，故C正确,D错误；
故选：AC.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在正方体中，异面直线与所成的角为 .
【答案】
【分析】根据几何体特征得出线面垂直进而得出线线垂直即可解题.
13.正方体中，直线与平面所成的角的大小为 ．
【答案】30°
【分析】根据线面角的定义作出线面角后求解．
14.已知三棱锥的底面ABC是边长为2的正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是的垂心，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球半径等于 ．
【答案】
【分析】做辅助线，根据题意结合垂直关系可证，同理可得，可知点为的垂心，即可知点为的中心，根据体积可得，结合外接球的性质列式求解即可.
【详解】延长交于点，连接，
因为点H是的垂心，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，，
且底面ABC是边长为2的正三角形，则点为的中点，
过点作平面，垂足为点，
且平面，可得，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
同理可得，可知点为的垂心，
因为为等边三角形，可知点为的中心，
则，且，
因为三棱锥的体积为，可得，
可知三棱锥的外接球的球心，设三棱锥的外接球的半径为，
则，解得，
所以外接球的半径为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
2.正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
3.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
4.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15..在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若. ①求的值； ②求的面积.
15.【答案】（1）；（2）①；②.
【解析】（1）已知，由余弦定理，则，
又，则.
（2）①，由正弦定理有，得，故，
.
②由正弦定理可知，，
故的面积为.
16. 如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）设平面平面，求证：.
【分析】（1）通过构造平行四边形的方法证得平面.
（2）根据线面平行的性质定理证得
【小问1详解】取的中点，连接，如图所示，
由，且，，且，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面平面，所以.
17．如图，四棱锥中，面是正方形，.
（1）若，求证：；
（2）若点为的中点，求证：.
【分析】（1）;
（2）由正方形得，根据勾股定理可证，即可可证明平面，从而证明．
【详解】证明：（1）
（2）∵面是正方形
又因为，且平面，平面
所以平面，
面
17.如图，正方体的棱长为分别为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求异面直线与所成角的大小.
（3）求直线与平面所成角的正切值.
17.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）如图，连接交于点，
因为分别为的中点，所以.
因为平面，且平面，所以平面.
（2）因，且，易得，
则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角）.
因为，所以，即与所成角的大小为.
（3）连接，过作于点.
因为平面，且平面，
所以，又且，所以平面.
因为平面，所以，
又，且平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为（或其补角）.
因为正方体的边长为1，所以，所以.
19. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面， ，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制）
(1)若，求四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若与平面的夹角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率；
(3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为，与平面交于点，证明：．
【分析】（1）根据条件得到菱形为正方形，再根据在顶点处的离散曲率的定义计算即可；
（2）结合立体几何知识，求得与平面的夹角为，求得，再根据在顶点处的离散曲率的定义计算即可；
（3）根据四面体在点处的离散曲率为求得，再结合立体几何知识，证得平面，用等体积法求三棱锥的体积，求得，即可得证.
【详解】（1）若，则菱形为正方形，即．
因为平面，平面，所以，，
所以直四棱柱，在顶点处的离散曲率为，
所以四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和为2．
（2）∵为菱形，∴．
又直四棱柱，∴平面，平面，∴．
又平面，，∴平面．
设，则即为与平面所成的角，
在中，，因为与平面的夹角的正弦值为，
所以，所以，则．
因为平面，平面，所以，，
所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为．
（3）证明：在四面体中，，，，
所以，，
所以四面体在点处的离散曲率为，所以，
所以为等边三角形，所以．
又在中，，所以，所以直四棱柱为正方体．
因为平面，平面，所以．
又，，平面，所以平面．
又平面，所以．
∵平面，平面，∴．
又平面，，∴平面．
又平面，所以．
又，平面，所以平面．
∴是三棱锥的高，设正方体的棱长为，∴，，
∴，∴，∴，∴，
∴．武汉市第四十九中学高一五月月考数学试卷
总分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m α，n β，则直线m与n的关系是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面
2．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为
A．三棱锥的四个面都是三角形 B．棱锥都有两个面是互相平行的多边形
C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱交于一点
3. 如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直相交
C．相交但不垂直 D．垂直但不相交
4. 如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是（　　）
A. 四点不共面
B. 四点共面
C. 三点共线
D. 三点共线
5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6．在正方体中，E，F分别为，的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7．在边长为1的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：
①与是异面直线； ②相交于一点；
③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形；
④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形；
其中错误的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．下列说法正确的是
A．过平面外一点作这个平面的平行线是唯一的 B．过平面外一点作这个平面的垂线是唯一的
C．过直线外一点作这直线的垂面是唯一的 D．过直线外一点作这直线的平行平面是唯一的
10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． 平面ABCD
C．AE//BF D．三棱锥的体积为定值
11．某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，设棱锥高为，体积为，现将容器以棱为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过，其中分别为棱的中点，则（ ）
A．水的体积为 B．水的体积为
C．图甲中的水面高度为 D．图甲中的水面高度为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在正方体中，异面直线与所成的角为 .
13.正方体中，直线与平面所成的角的大小为 ．
14.已知三棱锥的底面ABC是边长为2的正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是的垂心，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球半径等于 ．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15..在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若. ①求的值； ②求的面积.
16. 如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）设平面平面，求证：.
17．如图，四棱锥中，面是正方形，.
（1）若，求证：；
（2）若点为的中点，求证：.
18.如图，正方体的棱长为分别为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求异面直线与所成角的大小.
（3）求直线与平面所成角的正切值.
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19. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面， ，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制）
(1)若，求四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若与平面的夹角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率；
(3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为，与平面交于点，
证明：．

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