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2025年湖南省长沙市一中教育集团中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2024年，我国共授权发明专利104.5万件，同比增长．将1045000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，E为边延长线上一点，过点E作．若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A．3 B．9 C．10 D．12
7．如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　）
A． B． C． D．
8．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
11．分解因式：= ．
12．甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是环，方差分别是 ，则射击成绩较稳定的是 (填“甲”或“乙”)．
13．如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则 °．
14．一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为 ．
15．已知有理数x，y，z的和为零，如果x，y的平均数为4，那么 ．
16．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为 °．
三、解答题
17．计算：
18．已知，求代数式的值．
19．我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

20．为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图．
请根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________．
(2)补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
(3)学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用．
21．如图，在四边形中，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
22．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
23．如图，为的内接三角形，是的直径，D为中点，的延长线交于点E．
(1)求证：；
(2)连接交于点F，过点E作切线，交延长线于点Q，若，，求半径．
24．定义：如果两个函数的图象没有公共点，我们称它们互为“无交函数”，如果有唯一的公共点，称它们互为“单交函数”，如果有两个不同的公共点，称它们互为“双交函数”，称两个公共点之间的距离为这两个函数的“双交值”．
(1)下列三组函数：①与，②与，③与互为“无交函数”的是____，互为“单交函数”的是____，互为“双交函数”的是____；（填序号）
(2)与（）互为“无交函数”，若直线与轴，轴分别交于点，，在的图象上是否存在一点，使的面积最小，若存在，请求出点的坐标及此时面积；
(3)设，为正整数，且，关于的一次函数与二次函数和都互为“双交函数”，其“双交值”分别为，，若则一切实数恒成立，试求，的值．
25．如图，内接于，为的直径，过点的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图1，若，，求的半径；
(3)①如图1，分别记，，的面积为，，，若，求；
②如图2，于点，点是线段上一动点（不与点，重合），于点，交于点，若，，，试求关于的函数解析式．
《2025年湖南省长沙市一中教育集团中考一模数学试题》参考答案
1．D
解：，
故选：D．
2．B
解：A. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意；
C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当，则，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．A
解：几何体左视图是：
故选：．
4．B
解：依题意，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率
故选：B
5．B
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
6．A
解：由题知，
因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以△，
解得，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
7．C
解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，CD∥AB，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DA=DE，所以B选项不符合题意，
∴CD=DE，所以D选项不符合题意，
不能确定DE=BE，所以C选项符合题意．
故选：C．
8．D
解：由数轴可得：，故A错误，
∴，，，故BC错误，D正确，
故选：D．
9．C
由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
10．C
解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴当或时，，
故选：C．
11．x（x+2）（x﹣2）
解：
=
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
12．乙
解：∵，
∴乙的射击成绩较稳定，
故答案为：乙．
13．
解：∵是的直径，为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
解：圆锥的侧面积；
故答案为：．
15． 8
解：∵x，y的平均数为4，
∴x＋y＝8，
又∵x＋y＋z＝0，
∴8＋z＝0，
解得：z＝ 8，
故答案为： 8．
16．60
根据正方形和等边三角形的性质可得：∠BAD=90°，∠DAE=60°，根据△BAE为等腰三角形可得：∠ABE=∠AEB=15°，根据正方形的性质可得：∠BCF=45°，∠CBF=90°-15°=75°，根据△BCF的内角和定理可得：∠BFC=180°-45°-75°=60°.
故答案为：60
17．
解：
．
18．
解：
，
∵，
∴，
∴原式．
19．没有居民需要搬迁．
过点P作PD⊥MN于D，
∴MD=PD cot45°=PD，ND=PD cot30°=PD，
∵MD+ND=MN=2，
即PD+PD=2，
∴PD==≈1.73﹣1=0.73＞0.6．
答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．

20．(1)50；72
(2)统计图见解析，成绩的中位数落在良好等级
(3)14240元
（1）解：人，
∴本次抽查的学生人数是50人，
∴，
故答案为：50；72；
（2）解：等级为优秀的人数有人，
补全统计图如下：
把这50名学生成绩从低到高排列，处在第25名和第26名的乘积都在良好这一等级，
∴成绩的中位数落在良好等级；
（3）解：元，
∴估计该校用于本次竞赛的奖品费用为14240元．
21．（1）见解析；（2）120
证明：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵AB//CD，
∴四边形为平行四边形；
（2）∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴,
又∵AD=12，OD=OB=5，
∴OD 2 + AD 2 =52+122=169， OA 2 = 132=169，BD=10，
∴OD2+AD2=OA2，
∴∠ADB=90°，
∴S四边形ABCD=AD BD=12×10=120．
22．(1)小美每分钟跑360米
(2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟
（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，
根据题意，得，
解得：，
经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意，
则，
答：小美每分钟跑360米．
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
23．(1)见解析
(2)3
（1）证明：∵是的直径，D为中点，
∴是的中位线，
∴，
∵的延长线交于点E，
∴D，O，E三点共线，
∴．
（2）解：，
，．
．
，
．
．
设，，
∵是的切线，
．
，
．
．
．
．
即的半径长是3．
24．(1)①；②；③
(2)，此时；
(3)，．
（1）解：①令，
∵，
∴方程无解，
∴直线与没交点，
∴与互为“无交函数”；
②令，整理得，
，
∴方程有两个相等的实数根，
∴直线与双曲线只有一个交点，
∴与互为“单交函数”；
③令，整理得，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴直线与抛物线有两个不同的交点，
∴与互为“双交函数”；
故答案为：①；②；③；
（2）解：当时，，
∴，当时，，
∴，
∵点在的图象上，
∴设，其中，
过点作轴交直线于点，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵(当且仅当时取等)，
∴，
令，，
则(当且仅当时取等)，
∴，即的最小值为6，
此时，
∵，
∴，
经检验是原方程的解，
∴，此时；
（3）解：令，
整理得，
则，
整理得，即，
∴，
设直线与抛物线的交点的横坐标分别为和，
∴两个交点分别为和，
∴，，
∴，
整理得
，
∴，
令，
整理得，
则，
整理得，即，
∴，
设直线与抛物线的交点的横坐标分别为和，
∴两个交点分别为和，
∴，，
∴，
整理得
，
∴，
∵，
∴，
∴，
①当时，，
∵，
∴，
若则一切实数恒成立，除非，否则不成立，
∴此情况不成立，舍去；
②当时，，
当成立，
∴，；
③当时，，
当成立，
∴，；
④当时，，
∵，
∴，
若则一切实数恒成立，
除非，否则不成立，
∴此情况不成立，舍去；
综上，，．
25．(1)证明见解析
(2)
(3)①；②
（1）证明：内接于，为的直径，
，，
，，
是的切线，为的半径，
，
，
，
．
（2）解：由（1）得：，且，
，
，
在中，，
设，，
则在中，，
，
，，
，
，
的半径为．
（3）解：①如图，过点作于点，
由图可知：，即，
设，
由得：，
，
，
，
两边平方，整理，得：，
，解得：．
，，
，
设，，则，
由（1）得：，
在中，；
②，，
，，
由（1）得：，
，
，
，，
，
在中，，
在中，，
，
设，则，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
，解得：，
，
，
综上所述，．

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