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浙江省嘉兴市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·嘉兴期末）下列现象中，属于平移的是（　　）
A．钟摆的摆动 B．铝合金窗户左右移动
C．电风扇的转动 D．骑自行车时车轮的转动
2．（2024七下·嘉兴期末）嘉兴南湖机场将于2025年建成并投入运行，总投资152亿元，其中数据“152亿”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·嘉兴期末）如图，下列各对角中，属于同旁内角是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
4．（2024七下·嘉兴期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·嘉兴期末）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·嘉兴期末）欣欣文具店六月份某款书写水笔连续5天的销售量情况如图所示，相邻两天中，日销售量变化最大的是（　　）
A．第1天到第2天 B．第2天到第3天
C．第3天到第4天 D．第4天到第5天
7．（2024七下·嘉兴期末）如果把分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．不变
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的9倍
8．（2024七下·嘉兴期末）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·嘉兴期末）如图，已知正方形和正方形，点在边上，连接交于点，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（　　）
A．正方形的面积 B．三角形的面积
C．正方形的面积 D．三角形的面积
10．（2024七下·嘉兴期末）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·嘉兴期末）已知方程2x+y＝3，用含x的代数式表示y，则y＝　 　.
12．（2024七下·嘉兴期末）计算：　 　．
13．（2024七下·嘉兴期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当　 　度时，．
14．（2024七下·嘉兴期末）圆周率“”的前20个数字如下：3.1415926535897932384，则出现次数最多的数字其频率为　 　．
15．（2024七下·嘉兴期末）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数为　 　．
16．（2024七下·嘉兴期末）某服装厂销售某款时装，4月份销售每套该款时装获得的利润是其出厂价的20%（每套时装的利润＝出厂价－成本），5月份将每套该款时装的出厂价调低2%（每套时装的成本不变），销售量比4月份增长30%，那么该服装厂5月份销售这款时装的总利润比4月份的总利润增长了　 　%．
17．（2024七下·嘉兴期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·嘉兴期末）对下列各式进行因式分解：
（1）；
（2）．
19．（2024七下·嘉兴期末）先化简：，再从，0，2中选择一个恰当的数作为的值代入求值．
20．（2024七下·嘉兴期末）解方程（组）：
（1）；
（2）．
21．（2024七下·嘉兴期末）某校读书节活动中，学校图书馆准备增购一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中，一共调查了多少名同学？
（2）喜爱科普类课外读物的人数是多少？请补全条形统计图；
（3）若该校共有学生名，请根据抽样调查数据估算该校最喜爱艺术类课外读物的学生人数．
22．（2024七下·嘉兴期末）如图，平分，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
23．（2024七下·嘉兴期末）规定一种新的运算“”，其中，为正整数．其运算规则如下：
①；②（其中为常数）．
（1）计算：_______，______（其中为常数）；
（2）（其中，均不为0）．
①求，，的值；
②化简并计算：．
24．（2024七下·嘉兴期末）根据以下素材，探索完成任务
素材1 某中学701班自制一款组合式的木质收纳架．如图所示，已知单个收纳架由2个横杆和5个竖杆组成，横杆长为60厘米，竖杆长为32厘米．
素材2 可提供的制作原料是每根长为160厘米的木条．考虑到所制作的收纳架的牢固性，规定单根杆件的用料不能拼接而成．
解决问题
任务（一） 拟定裁切方案 一根160厘米长的木条有以下裁剪方法．（余料作废） 方法①：当只裁剪32厘米的竖杆时，最多可裁剪_________根； 方法②：当先裁剪下1根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根； 方法③：当先裁剪下2根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根．
任务（二） 核算材料费用 班委会计划在教室墙壁上安装5个收纳架，若用任务（一）中的方法②和方法③进行裁剪，则裁剪多少根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的用料？
任务（三） 评价安装工效 同学们在安装过程中发现：单位时间内可以安装根竖杆或根横杆．任务（二）中的5个收纳架安装完毕时，发现安装竖杆所需的时间与安装横杆所需的时间相同，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：钟摆的摆动，不属于平移，故A不符合；
铝合金窗户左右移动，属于平移，故B符合；
电风扇的转动，不属于平移，故C不符合；
骑自行车时车轮的转动，不属于平移，故D不符合；
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质对四个选项中的现象逐一分析，再作出判断．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵152亿元可以写成元，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据科学记数法表示绝对值较大的数的方法求解．把一个数表示成与的次幂相乘的形式（，不为分数形式，为整数），这种记数法叫做科学记数法．
3．【答案】D
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：与成“U”字形，它们是同旁内角，
故答案为：D．
【分析】根据同旁内角的定义判断作答．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故答案为：C．
【分析】（1）根据合并同类项法则计算；
（2）根据同底数幂的除法法则计算；
（3）根据幂的乘方法则计算；
（4）根据完全平方公式求解．
5．【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，这是整式乘法，不属于因式分解，故A不符合题意；
，这是整式乘法，不属于因式分解，故B不符合题意；
，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故C不符合题意；
，是整式的积的形式，属于因式分解，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义逐一分析作出判断．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解.
6．【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：第2天和第1天的销售量变化为：；
第3天和第2天的销售量变化为：；
第4天和第3天的销售量变化为：；
第5天和第4天的销售量变化为：；
综上所述，日销售量变化最大的是第4天到底5天．
故答案为：D.
【分析】根据折线图，分别计算出每相邻两天的日销售量变化量，再比较大小，然后可作出判断．
7．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ∵把分式中的和都扩大到原来的3倍，
∴，分式值不变．
故答案为：B．
【分析】根据题意将扩大后的字母代入到相应字母中，再约分后作出判断．
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有x只鸡，y只兔，
∵今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
∴由题意可列方程组 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意找出等量关系列方程组即可。
9．【答案】C
【知识点】分式的混合运算；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长交的延长线于，则，
设正方形和正方形的边长分别为，，
则，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴当已知正方形的面积时，可求阴影部分面积，
故答案为：C．
【分析】先根据，可得，求得，从而可得，，可知阴影部分面积与 正方形的面积的关系，再作出判断．
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由题意知，，，，，
同理可得，，，，
∴，，，，，，，
，，……
不难发现：每6个数为一个循环，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴两边平方，得，
两边同除以m2，得，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据题意，计算可得，，，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，由，可得，则，计算求解，然后作答即可．
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：移项得：
，
故答案为： .
【分析】把方程 写成用含x的代数式表示y，需要进行移项即得.
12．【答案】
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解： ．
故答案为：.
【分析】利用积的乘方法则计算．
13．【答案】15
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
当时，
，
∴，
∴三角板绕点顺时针旋转15度，即.
【分析】先得出，再求，从而可得．
14．【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵圆周率“”的前20个数字如下：3.1415926535897932384，
∴出现次数最多的数字是3，数出次数且为，
∴出现次数最多的数字其频率为，
故答案为：.
【分析】先找出出现次数最多的数字是3，数出次数且为，再把数值代入频率公式计算即可．
15．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，
∴将图按如下角度命名：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先得出，从而可求得的度数，再利用翻折性质求出．
16．【答案】17
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设增长率为，4月份每套该款时装的出厂价为元，5月份每套该款时装销售件，
，
解得：，
故答案为：17.
【分析】先设4月份销售每套该款时装的出厂价为元，再用a表示出每件的成本和5月份每套该款时装的利润，然后设4月份销售该款时装件，用b表示出5月份销售件数，接着利用等量关系：4月份的总利润增长率）月份的总利润，列出方程求解．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算加减；
（2）利用多项式除以单项式运算法则求解．
18．【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；
（2）先提出公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解．
19．【答案】解：
，
∵，
∴，
∴当时，
原式=2-2．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将小括号里的式子通分再相减，然后作乘法运算，化为最简，再根据分式有意义的条件，确定恰当的的值，代入求值．
20．【答案】（1）解：
得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：
去分母得，，
解得，
检验：将代入，
∴原方程的解为．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）方程组利用加减消元法求解；
（2）先去分母化为一元一次方程求解，再验根．
21．【答案】（1）解：由题意知，（名），
∴本次抽样调查中，一共调查了名同学；
（2）解：由题意知，（人），
∴喜爱科普类课外读物的人数是人；
补全条形统计图如下；
（3）解：∵，
∴估算该校最喜爱艺术类课外读物的学生人数为人．
【知识点】条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据文学的人数与所占百分比求出调查的同学总人数；
（2）根据（1）求得的调查的同学总人数乘以喜爱科普类谭外读物的所占的百分比求出其人数，再补全条形统计图即可；
（3）根据该校最喜爱艺术类课外读物所占比例乘以该校共有学生数即可求得该校最喜爱艺术类课外读物的学生人数．
22．【答案】（1）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的意义，得到，从而，再利用平行线的判定证明；
（2）先求得，再与角平分线的定义求得，然后根据平行线的性质求．
23．【答案】（1），
（2）解：①由题意知，，，，
∴，整理得，，
∴，，，，
解得，，，
∴，，；
②解：由①可知，，整理得，
∴，
∴的值为3．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂
【解析】【解答】解：（1）由题意知，，，
故答案为：，；
【分析】（1），，求解作答；
（2）①先根据，，，得出，从而可得，，，，求解作答即可；
②先根据，得到，再代入化简即可．
24．【答案】任务一：5，3，1；
解：任务二：设按方法②需裁剪x根160厘米长的木条，
按方法③需裁剪y根160厘米长的木条，依据题意得：
，
解得：．
答：按方法②需裁剪8根160厘米长的木条，按方法③需裁剪1根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的相应数量的用料．
任务三：依据题意得，
解得：，
经检验，是该方程的解．
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务一：方法①：(根)
当只裁剪32厘米长的竖杠时，最多可裁剪5根．
方法②：，
当先裁剪下1根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠3根．
方法③：，
当先裁剪下2根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠1根．
【分析】任务一：利用围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；
任务二：利用方法②与方法③列出方程组，解方程组即可求解；
任务三：利用在单位时间内可以安装m根竖杠或根横杠，所用的时间相同，列出分式方程求解．
1 / 1浙江省嘉兴市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·嘉兴期末）下列现象中，属于平移的是（　　）
A．钟摆的摆动 B．铝合金窗户左右移动
C．电风扇的转动 D．骑自行车时车轮的转动
【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：钟摆的摆动，不属于平移，故A不符合；
铝合金窗户左右移动，属于平移，故B符合；
电风扇的转动，不属于平移，故C不符合；
骑自行车时车轮的转动，不属于平移，故D不符合；
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质对四个选项中的现象逐一分析，再作出判断．
2．（2024七下·嘉兴期末）嘉兴南湖机场将于2025年建成并投入运行，总投资152亿元，其中数据“152亿”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵152亿元可以写成元，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据科学记数法表示绝对值较大的数的方法求解．把一个数表示成与的次幂相乘的形式（，不为分数形式，为整数），这种记数法叫做科学记数法．
3．（2024七下·嘉兴期末）如图，下列各对角中，属于同旁内角是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：与成“U”字形，它们是同旁内角，
故答案为：D．
【分析】根据同旁内角的定义判断作答．
4．（2024七下·嘉兴期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故答案为：C．
【分析】（1）根据合并同类项法则计算；
（2）根据同底数幂的除法法则计算；
（3）根据幂的乘方法则计算；
（4）根据完全平方公式求解．
5．（2024七下·嘉兴期末）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，这是整式乘法，不属于因式分解，故A不符合题意；
，这是整式乘法，不属于因式分解，故B不符合题意；
，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故C不符合题意；
，是整式的积的形式，属于因式分解，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义逐一分析作出判断．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解.
6．（2024七下·嘉兴期末）欣欣文具店六月份某款书写水笔连续5天的销售量情况如图所示，相邻两天中，日销售量变化最大的是（　　）
A．第1天到第2天 B．第2天到第3天
C．第3天到第4天 D．第4天到第5天
【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：第2天和第1天的销售量变化为：；
第3天和第2天的销售量变化为：；
第4天和第3天的销售量变化为：；
第5天和第4天的销售量变化为：；
综上所述，日销售量变化最大的是第4天到底5天．
故答案为：D.
【分析】根据折线图，分别计算出每相邻两天的日销售量变化量，再比较大小，然后可作出判断．
7．（2024七下·嘉兴期末）如果把分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．不变
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的9倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ∵把分式中的和都扩大到原来的3倍，
∴，分式值不变．
故答案为：B．
【分析】根据题意将扩大后的字母代入到相应字母中，再约分后作出判断．
8．（2024七下·嘉兴期末）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有x只鸡，y只兔，
∵今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
∴由题意可列方程组 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意找出等量关系列方程组即可。
9．（2024七下·嘉兴期末）如图，已知正方形和正方形，点在边上，连接交于点，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（　　）
A．正方形的面积 B．三角形的面积
C．正方形的面积 D．三角形的面积
【答案】C
【知识点】分式的混合运算；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长交的延长线于，则，
设正方形和正方形的边长分别为，，
则，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴当已知正方形的面积时，可求阴影部分面积，
故答案为：C．
【分析】先根据，可得，求得，从而可得，，可知阴影部分面积与 正方形的面积的关系，再作出判断．
10．（2024七下·嘉兴期末）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由题意知，，，，，
同理可得，，，，
∴，，，，，，，
，，……
不难发现：每6个数为一个循环，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴两边平方，得，
两边同除以m2，得，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据题意，计算可得，，，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，由，可得，则，计算求解，然后作答即可．
11．（2024七下·嘉兴期末）已知方程2x+y＝3，用含x的代数式表示y，则y＝　 　.
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：移项得：
，
故答案为： .
【分析】把方程 写成用含x的代数式表示y，需要进行移项即得.
12．（2024七下·嘉兴期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解： ．
故答案为：.
【分析】利用积的乘方法则计算．
13．（2024七下·嘉兴期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当　 　度时，．
【答案】15
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
当时，
，
∴，
∴三角板绕点顺时针旋转15度，即.
【分析】先得出，再求，从而可得．
14．（2024七下·嘉兴期末）圆周率“”的前20个数字如下：3.1415926535897932384，则出现次数最多的数字其频率为　 　．
【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵圆周率“”的前20个数字如下：3.1415926535897932384，
∴出现次数最多的数字是3，数出次数且为，
∴出现次数最多的数字其频率为，
故答案为：.
【分析】先找出出现次数最多的数字是3，数出次数且为，再把数值代入频率公式计算即可．
15．（2024七下·嘉兴期末）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，
∴将图按如下角度命名：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先得出，从而可求得的度数，再利用翻折性质求出．
16．（2024七下·嘉兴期末）某服装厂销售某款时装，4月份销售每套该款时装获得的利润是其出厂价的20%（每套时装的利润＝出厂价－成本），5月份将每套该款时装的出厂价调低2%（每套时装的成本不变），销售量比4月份增长30%，那么该服装厂5月份销售这款时装的总利润比4月份的总利润增长了　 　%．
【答案】17
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设增长率为，4月份每套该款时装的出厂价为元，5月份每套该款时装销售件，
，
解得：，
故答案为：17.
【分析】先设4月份销售每套该款时装的出厂价为元，再用a表示出每件的成本和5月份每套该款时装的利润，然后设4月份销售该款时装件，用b表示出5月份销售件数，接着利用等量关系：4月份的总利润增长率）月份的总利润，列出方程求解．
17．（2024七下·嘉兴期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算加减；
（2）利用多项式除以单项式运算法则求解．
18．（2024七下·嘉兴期末）对下列各式进行因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；
（2）先提出公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解．
19．（2024七下·嘉兴期末）先化简：，再从，0，2中选择一个恰当的数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
∵，
∴，
∴当时，
原式=2-2．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将小括号里的式子通分再相减，然后作乘法运算，化为最简，再根据分式有意义的条件，确定恰当的的值，代入求值．
20．（2024七下·嘉兴期末）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：
去分母得，，
解得，
检验：将代入，
∴原方程的解为．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）方程组利用加减消元法求解；
（2）先去分母化为一元一次方程求解，再验根．
21．（2024七下·嘉兴期末）某校读书节活动中，学校图书馆准备增购一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中，一共调查了多少名同学？
（2）喜爱科普类课外读物的人数是多少？请补全条形统计图；
（3）若该校共有学生名，请根据抽样调查数据估算该校最喜爱艺术类课外读物的学生人数．
【答案】（1）解：由题意知，（名），
∴本次抽样调查中，一共调查了名同学；
（2）解：由题意知，（人），
∴喜爱科普类课外读物的人数是人；
补全条形统计图如下；
（3）解：∵，
∴估算该校最喜爱艺术类课外读物的学生人数为人．
【知识点】条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据文学的人数与所占百分比求出调查的同学总人数；
（2）根据（1）求得的调查的同学总人数乘以喜爱科普类谭外读物的所占的百分比求出其人数，再补全条形统计图即可；
（3）根据该校最喜爱艺术类课外读物所占比例乘以该校共有学生数即可求得该校最喜爱艺术类课外读物的学生人数．
22．（2024七下·嘉兴期末）如图，平分，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的意义，得到，从而，再利用平行线的判定证明；
（2）先求得，再与角平分线的定义求得，然后根据平行线的性质求．
23．（2024七下·嘉兴期末）规定一种新的运算“”，其中，为正整数．其运算规则如下：
①；②（其中为常数）．
（1）计算：_______，______（其中为常数）；
（2）（其中，均不为0）．
①求，，的值；
②化简并计算：．
【答案】（1），
（2）解：①由题意知，，，，
∴，整理得，，
∴，，，，
解得，，，
∴，，；
②解：由①可知，，整理得，
∴，
∴的值为3．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂
【解析】【解答】解：（1）由题意知，，，
故答案为：，；
【分析】（1），，求解作答；
（2）①先根据，，，得出，从而可得，，，，求解作答即可；
②先根据，得到，再代入化简即可．
24．（2024七下·嘉兴期末）根据以下素材，探索完成任务
素材1 某中学701班自制一款组合式的木质收纳架．如图所示，已知单个收纳架由2个横杆和5个竖杆组成，横杆长为60厘米，竖杆长为32厘米．
素材2 可提供的制作原料是每根长为160厘米的木条．考虑到所制作的收纳架的牢固性，规定单根杆件的用料不能拼接而成．
解决问题
任务（一） 拟定裁切方案 一根160厘米长的木条有以下裁剪方法．（余料作废） 方法①：当只裁剪32厘米的竖杆时，最多可裁剪_________根； 方法②：当先裁剪下1根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根； 方法③：当先裁剪下2根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根．
任务（二） 核算材料费用 班委会计划在教室墙壁上安装5个收纳架，若用任务（一）中的方法②和方法③进行裁剪，则裁剪多少根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的用料？
任务（三） 评价安装工效 同学们在安装过程中发现：单位时间内可以安装根竖杆或根横杆．任务（二）中的5个收纳架安装完毕时，发现安装竖杆所需的时间与安装横杆所需的时间相同，求的值．
【答案】任务一：5，3，1；
解：任务二：设按方法②需裁剪x根160厘米长的木条，
按方法③需裁剪y根160厘米长的木条，依据题意得：
，
解得：．
答：按方法②需裁剪8根160厘米长的木条，按方法③需裁剪1根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的相应数量的用料．
任务三：依据题意得，
解得：，
经检验，是该方程的解．
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务一：方法①：(根)
当只裁剪32厘米长的竖杠时，最多可裁剪5根．
方法②：，
当先裁剪下1根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠3根．
方法③：，
当先裁剪下2根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠1根．
【分析】任务一：利用围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；
任务二：利用方法②与方法③列出方程组，解方程组即可求解；
任务三：利用在单位时间内可以安装m根竖杠或根横杠，所用的时间相同，列出分式方程求解．
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