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浙江省金华市义乌市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·义乌期末）下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是中心对称图形，故A不符合题意；
不是中心对称图形，故B不符合题意；
不是中心对称图形，故C不符合题意；
是中心对称图形，故D符合题意．
故答案为：．
【分析】根据中心对称图形的定义，逐一对四个图形分析，作出判断．中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
2．（2024八下·义乌期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程中含有两个未知数，未知数的最高次数是2，它不是一元二次方程，故A不符合题意；
方程中未知数的最高次数是1，它不是一元二次方程，故B不符合题意；
方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故C符合题意；
方程中分母中含有字母，它不是整式方程，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，作出判断．一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．
3．（2024八下·义乌期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，故A正确；
和不能合并，故B错误；
，故C错误；
和不能合并，故D错误．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的加减运算法则计算．
4．（2024八下·义乌期末）已知点在反比例函数的图象上，下列各点中也在该函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
、∵，
∴点不在该函数图象上；
、∵，
∴点在该函数图象上；
、∵，
∴点不在该函数图象上；
、∵，
∴点不在该函数图象上；
故答案为：．
【分析】根据点反比例函数图象上的定义，对四个点的坐标，逐一计算验证，再作出判断．
5．（2024八下·义乌期末）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．邻角互补 D．邻边相等
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为矩形和菱形的对角线都互相平分，邻角互补，菱形的邻边相等，矩形的对角线相等，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故答案为：A．
【分析】根据矩形和菱形的性质，分析出矩形具有而菱形不具体的性质，再作出选择．
6．（2024八下·义乌期末）用反证法证明“若的周长为16，则较长边的长不小于4”时，应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“若的周长为16，则较长边的长不小于4”，“不小于”是”大于或等于“，即”≥“，所以 用反证法证明“若的周长为16，则较长边的长不小于4”时，应假设 ：.
故答案为：C．
【分析】根据反证法的证法，对所给命题进行反设，再作出选择．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
7．（2024八下·义乌期末）已知一组数据，，，的方差为，则，，，的方差为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据，，，与数据，，，的波动大小一样，数据，，，的方差为，
∴数据，，，的方差也为，
故答案为：．
【分析】根据方差的意义求解．
8．（2024八下·义乌期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和即可．若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：．
9．（2024八下·义乌期末）某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低a元，要使日盈利为800元，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每捆衣架售价降低a元，则售价为元，
销量为捆，
∴根据题意有：，
整理得：
故答案为：D．
【分析】设每捆衣架售价降低a元，先用a表示出售价和销量，根据“ 要使日盈利为800元 ”列出方程．
10．（2024八下·义乌期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作与，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
过点作，并使，连接，
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】先利用ASA证明，再利用全等三角形的性质得到，然后证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质得到，从而可得当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理求出EM，，然后求出BP+EF的最小值．
11．（2024八下·义乌期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
12．（2024八下·义乌期末）某小组名同学的英语口试成绩（满分分）依次为：，则这组数据的众数为　 　．
【答案】
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵出现了3次，23出现了1次，27出现了1次，28出现了2次，25出现的次数最多，
∴这组数据的众数为，
故答案为：．
【分析】根据众数的定义求解．
13．（2024八下·义乌期末）已知一个多边形是七边形，则它的内角和为　 　度．
【答案】900
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：七边形的内角和为，
故答案为：900．
【分析】根据多边形的内角和公式计算．n边形的内角和为．
14．（2024八下·义乌期末）已知是一个关于x的完全平方式，则常数a的值为　 　．
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个关于x的完全平方式，
∴
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据完全平方式的意义，列出关于a的方程求解．
15．（2024八下·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在反比例函数的图象上，点是对角线与的交点且在反比例函数的图象上，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点作轴于，
则，
设，
∴，，
∵菱形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵点位于第二象限，
∴，
∴不合题意，舍去，
∴，
∴，
∵点为菱形对角线的交点，
∴点为线段的中点，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：．
【分析】先用a分别表示出OM与AM，再根据菱形的性质求得OA，再求得C点的坐标，然后利用勾股定理可得关于a的方程求解，解得，再求得A点的坐标，然后利用中点坐标公式求得E点的坐标，再代入反比例函数即可求解．
16．（2024八下·义乌期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为．有一动点D以1个单位长度/秒的速度从O点向A点运动，另一动点E以相同速度同时从A点向B点运动，其中一点到达终点时停止运动．连结，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，连结，设点D、E运动的时间为t秒．
（1）当时，的面积为　 　．
（2）记点G为线段的中点，则在整个运动过程中，点G所经过的路径长为　 　．
【答案】10；
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
当时，，
∴，，
∵在矩形 中，∠DAE=90°，
∴，
∵将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，
故答案为：10；
（2）如图，
当时，点与原点O重合，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，∴为中点，
当时，运动终止，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，∴为中点，
∵ 将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
过点F作于点P，
∵ 将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴、，
∴，
把代入得，，
∴点G在直线上运动，即点G的运动路线为线段，
在中，，
故答案为：．
【分析】（1）先根据B点的坐标，求得，，再根据，求得，，然后利用勾股定理求得DE，再根据旋转的性质得，求得DE和，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）如图，当时，点与原点O重合，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点，
当时，运动终止，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点，由旋转的性质求得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，过点F作于点P，证明，可得，从而可得、，再利用中点坐标公式求得，再代入解析式可得点G在直线上运动，即点G的运动路线为线段，再利用勾股定理求得．
17．（2024八下·义乌期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法求解；
（2）先利用分配律去括号，再利用二次根式乘法运算法则进行计算，然后计算加减．
（1）解：
（2）解：
18．（2024八下·义乌期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，；
（2）解：，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（）利用提取公因式法分解因式，转化为两个一次方程求解；
（）利用因式分解法，转化为两个一次方程求解.
（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
19．（2024八下·义乌期末）如图，的对角线，相交于点O，点E在上，点F在上，连结使恰好经过点O．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
（2）先求得，再根据勾股定理求得，然后可得到的长．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（2024八下·义乌期末）某校为了解学生做家务情况，对本校八年级学生在家平均每天做家务时长进行了调查，并随机抽取了部分八年级学生进行数据整理分析，将做家务时长分为四个等级：等（），等（），等（），等（）（表示做家务时长，单位：分钟）．下面给出了部分信息：
（1）本次调查共抽取学生______人，______，并补全条形统计图．
（2）这组数据的中位数所在的等级是______等．（填“”或“”或“”或“”）
（3）若该校八年级学生共有人，请估计他们在家平均每天做家务时长为两个等级的人数和．
【答案】（1），，
补全条形统计图如下：
（2）；
（3）解：，
答：估计他们在家平均每天做家务时长为两个等级的人数和为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查共抽取学生人数为人，
∴，
故答案为：，；
∴等学生人数为人，
补全条形统计图如下：
（2）∵共抽取了名学生，
∴数据按照由小到大排列后，中位数为第和个数据的平均数，
∴中位数所在的等级是等，
故答案为：；
【分析】（）用等的人数和所占百分比可求出抽取的学生人数，再根据D所占的百分比可求得，然后可求出等学生人数，最后补全条形统计图；
（）根据中位数的定义结合条形统计图求解；
（）用分别乘以的占比，相加即可求解.
（1）解：本次调查共抽取学生人数为人，
∴，
故答案为：，；
∴等学生人数为人，
补全条形统计图如下：
（2）解：∵共抽取了名学生，
∴数据按照由小到大排列后，中位数为第和个数据的平均数，
∴中位数所在的等级是等，
故答案为：；
（3）解：，
答：估计他们在家平均每天做家务时长为两个等级的人数和为人．
21．（2024八下·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点．已知点的坐标分别为和．
（1）求直线和反比例函数的解析式．
（2）请直接写出不等式的解集．
（3）若点在反比例函数图象上且，求点的坐标．
【答案】（1）解：把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
此时或，
即不等式的解集为或；
（3）解：如图，当点为第一象限内的点时，如图，设射线与轴的交点为，过点作轴于点，，交轴于点，设，
过点作，交轴于点，则，
∴，，
，当时，，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴为的角平分线，
∴点到的距离相等，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵、，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
由，
解得，，
∴；
当点为第三象限内的点时，
∵，
∴
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∵、，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得，，
∴点的坐标；
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（）利用待定系数法求解；
（）根据的意义，结合图象求解；
（）分“点为第一象限内的点”、“点为第三象限内的点”两种情况，画出图形求解.
（1）解：把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可得，当或时，，
∴不等式的解集为或；
（3）解：如图，当点为第一象限内的点时，如图，设射线与轴的交点为，过点作轴于点，，交轴于点，设，则，，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∵，
∴为的角平分线，
∴点到的距离相等，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得，，
∴；
过点作，交轴于点，则，
∵，
∴
设，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得，，
∴点的坐标；
综上，点的坐标为或．
22．（2024八下·义乌期末）根据以下素材，探索完成任务．
“脸谱扇”的制作、展示与包装
项目情境 脸谱，是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．某项目组的学生受此启发，准备设计制作“脸谱扇”，并进行展示与包装．
素材1 如图1，脸谱的长与宽分别为、（），为制作大小适合的脸谱，该项目组的学生测量了如下五组数据，根据其平均数来确定脸谱的长与宽后，将一部分制作好的脸谱作品粘贴在纸片上（纸片大小即为矩形，且，）． 脸长/17.218.417.318.119.0脸宽/12.813.113.312.713.1
素材2 如图2是一块矩形展板，学生在展板上放置了8个已粘贴在纸片上的脸谱扇作品，其中上、下四个作品分别与、的距离以及左右两边的作品分别与、的距离均相等．已知两作品间的左右间距均为，上下间距均为．
素材3 如图3，将做好的脸谱扇粘上扇柄，其中露在扇面外的扇柄．现有一块面积为的矩形纸板，在它的四个角上剪去四个边长相等的小正方形后折叠成一个无盖礼盒，再将带扇柄的脸谱扇平放入礼盒中，且摆放时扇柄保持与礼盒底边垂直．
任务1 结合素材1的信息，求出脸谱的长与宽．
任务2 记素材2中上面四个作品与的距离为，若，求x的值．
任务3 结合素材3的信息，求出被剪去的小正方形边长的最大值．
【答案】解：（1） 脸谱的长为，
脸谱的宽为
答：脸谱的长与宽分别为和；
（2），
，
∵，
∴
解得：；
（3）设被剪去的小正方形边长的最大值为，
可列不等式为，
∴，解：，
∵，
∴，
∴的最大值为4，
∴被剪去的小正方形边长的最大值为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；平均数及其计算；一元二次不等式
【解析】【分析】（1）根据平均数的计算方法求解；
（2）分别表示出PS和PQ，根据列方程求解；
（3）设被剪去的小正方形边长的最大值为，可得，结合二次函数的图象求解．
23．（2024八下·义乌期末）如图1，正方形的边长为4，点在上（不与重合），点在上（不与重合）且满足，连接并交于点．
（1）请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）如图2，连结，若点为的中点，求的周长．
（3）如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积．
【答案】（1）解：线段与的数量关系是、位置关系是，
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
，，
，
，则；
（2）解：过点作，如图所示：
正方形的边长为4，
，且，
由（1）知，
在中，，，
点为的中点，
，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
，
，，
，
的周长为；
（3）解：连接，过作，如图所示：
，，
是线段的垂直平分线，则，
，即是等腰三角形，
，则由勾股定理可得，
过点作，延长，过作于，如图：
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
，
；，
．

【知识点】勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；正方形中的十字架模型
1 / 1浙江省金华市义乌市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·义乌期末）下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·义乌期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·义乌期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·义乌期末）已知点在反比例函数的图象上，下列各点中也在该函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·义乌期末）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．邻角互补 D．邻边相等
6．（2024八下·义乌期末）用反证法证明“若的周长为16，则较长边的长不小于4”时，应假设（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·义乌期末）已知一组数据，，，的方差为，则，，，的方差为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·义乌期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·义乌期末）某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低a元，要使日盈利为800元，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八下·义乌期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·义乌期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·义乌期末）某小组名同学的英语口试成绩（满分分）依次为：，则这组数据的众数为　 　．
13．（2024八下·义乌期末）已知一个多边形是七边形，则它的内角和为　 　度．
14．（2024八下·义乌期末）已知是一个关于x的完全平方式，则常数a的值为　 　．
15．（2024八下·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在反比例函数的图象上，点是对角线与的交点且在反比例函数的图象上，则的值为　 　．
16．（2024八下·义乌期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为．有一动点D以1个单位长度/秒的速度从O点向A点运动，另一动点E以相同速度同时从A点向B点运动，其中一点到达终点时停止运动．连结，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，连结，设点D、E运动的时间为t秒．
（1）当时，的面积为　 　．
（2）记点G为线段的中点，则在整个运动过程中，点G所经过的路径长为　 　．
17．（2024八下·义乌期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·义乌期末）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2024八下·义乌期末）如图，的对角线，相交于点O，点E在上，点F在上，连结使恰好经过点O．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
20．（2024八下·义乌期末）某校为了解学生做家务情况，对本校八年级学生在家平均每天做家务时长进行了调查，并随机抽取了部分八年级学生进行数据整理分析，将做家务时长分为四个等级：等（），等（），等（），等（）（表示做家务时长，单位：分钟）．下面给出了部分信息：
（1）本次调查共抽取学生______人，______，并补全条形统计图．
（2）这组数据的中位数所在的等级是______等．（填“”或“”或“”或“”）
（3）若该校八年级学生共有人，请估计他们在家平均每天做家务时长为两个等级的人数和．
21．（2024八下·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点．已知点的坐标分别为和．
（1）求直线和反比例函数的解析式．
（2）请直接写出不等式的解集．
（3）若点在反比例函数图象上且，求点的坐标．
22．（2024八下·义乌期末）根据以下素材，探索完成任务．
“脸谱扇”的制作、展示与包装
项目情境 脸谱，是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．某项目组的学生受此启发，准备设计制作“脸谱扇”，并进行展示与包装．
素材1 如图1，脸谱的长与宽分别为、（），为制作大小适合的脸谱，该项目组的学生测量了如下五组数据，根据其平均数来确定脸谱的长与宽后，将一部分制作好的脸谱作品粘贴在纸片上（纸片大小即为矩形，且，）． 脸长/17.218.417.318.119.0脸宽/12.813.113.312.713.1
素材2 如图2是一块矩形展板，学生在展板上放置了8个已粘贴在纸片上的脸谱扇作品，其中上、下四个作品分别与、的距离以及左右两边的作品分别与、的距离均相等．已知两作品间的左右间距均为，上下间距均为．
素材3 如图3，将做好的脸谱扇粘上扇柄，其中露在扇面外的扇柄．现有一块面积为的矩形纸板，在它的四个角上剪去四个边长相等的小正方形后折叠成一个无盖礼盒，再将带扇柄的脸谱扇平放入礼盒中，且摆放时扇柄保持与礼盒底边垂直．
任务1 结合素材1的信息，求出脸谱的长与宽．
任务2 记素材2中上面四个作品与的距离为，若，求x的值．
任务3 结合素材3的信息，求出被剪去的小正方形边长的最大值．
23．（2024八下·义乌期末）如图1，正方形的边长为4，点在上（不与重合），点在上（不与重合）且满足，连接并交于点．
（1）请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）如图2，连结，若点为的中点，求的周长．
（3）如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是中心对称图形，故A不符合题意；
不是中心对称图形，故B不符合题意；
不是中心对称图形，故C不符合题意；
是中心对称图形，故D符合题意．
故答案为：．
【分析】根据中心对称图形的定义，逐一对四个图形分析，作出判断．中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程中含有两个未知数，未知数的最高次数是2，它不是一元二次方程，故A不符合题意；
方程中未知数的最高次数是1，它不是一元二次方程，故B不符合题意；
方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故C符合题意；
方程中分母中含有字母，它不是整式方程，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，作出判断．一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．
3．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，故A正确；
和不能合并，故B错误；
，故C错误；
和不能合并，故D错误．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的加减运算法则计算．
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
、∵，
∴点不在该函数图象上；
、∵，
∴点在该函数图象上；
、∵，
∴点不在该函数图象上；
、∵，
∴点不在该函数图象上；
故答案为：．
【分析】根据点反比例函数图象上的定义，对四个点的坐标，逐一计算验证，再作出判断．
5．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为矩形和菱形的对角线都互相平分，邻角互补，菱形的邻边相等，矩形的对角线相等，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故答案为：A．
【分析】根据矩形和菱形的性质，分析出矩形具有而菱形不具体的性质，再作出选择．
6．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“若的周长为16，则较长边的长不小于4”，“不小于”是”大于或等于“，即”≥“，所以 用反证法证明“若的周长为16，则较长边的长不小于4”时，应假设 ：.
故答案为：C．
【分析】根据反证法的证法，对所给命题进行反设，再作出选择．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
7．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据，，，与数据，，，的波动大小一样，数据，，，的方差为，
∴数据，，，的方差也为，
故答案为：．
【分析】根据方差的意义求解．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和即可．若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每捆衣架售价降低a元，则售价为元，
销量为捆，
∴根据题意有：，
整理得：
故答案为：D．
【分析】设每捆衣架售价降低a元，先用a表示出售价和销量，根据“ 要使日盈利为800元 ”列出方程．
10．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作与，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
过点作，并使，连接，
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】先利用ASA证明，再利用全等三角形的性质得到，然后证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质得到，从而可得当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理求出EM，，然后求出BP+EF的最小值．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
12．【答案】
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵出现了3次，23出现了1次，27出现了1次，28出现了2次，25出现的次数最多，
∴这组数据的众数为，
故答案为：．
【分析】根据众数的定义求解．
13．【答案】900
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：七边形的内角和为，
故答案为：900．
【分析】根据多边形的内角和公式计算．n边形的内角和为．
14．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个关于x的完全平方式，
∴
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据完全平方式的意义，列出关于a的方程求解．
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点作轴于，
则，
设，
∴，，
∵菱形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵点位于第二象限，
∴，
∴不合题意，舍去，
∴，
∴，
∵点为菱形对角线的交点，
∴点为线段的中点，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：．
【分析】先用a分别表示出OM与AM，再根据菱形的性质求得OA，再求得C点的坐标，然后利用勾股定理可得关于a的方程求解，解得，再求得A点的坐标，然后利用中点坐标公式求得E点的坐标，再代入反比例函数即可求解．
16．【答案】10；
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
当时，，
∴，，
∵在矩形 中，∠DAE=90°，
∴，
∵将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，
故答案为：10；
（2）如图，
当时，点与原点O重合，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，∴为中点，
当时，运动终止，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，∴为中点，
∵ 将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
过点F作于点P，
∵ 将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴、，
∴，
把代入得，，
∴点G在直线上运动，即点G的运动路线为线段，
在中，，
故答案为：．
【分析】（1）先根据B点的坐标，求得，，再根据，求得，，然后利用勾股定理求得DE，再根据旋转的性质得，求得DE和，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）如图，当时，点与原点O重合，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点，
当时，运动终止，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点，由旋转的性质求得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，过点F作于点P，证明，可得，从而可得、，再利用中点坐标公式求得，再代入解析式可得点G在直线上运动，即点G的运动路线为线段，再利用勾股定理求得．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法求解；
（2）先利用分配律去括号，再利用二次根式乘法运算法则进行计算，然后计算加减．
（1）解：
（2）解：
18．【答案】（1）解：，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，；
（2）解：，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（）利用提取公因式法分解因式，转化为两个一次方程求解；
（）利用因式分解法，转化为两个一次方程求解.
（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
19．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
（2）先求得，再根据勾股定理求得，然后可得到的长．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1），，
补全条形统计图如下：
（2）；
（3）解：，
答：估计他们在家平均每天做家务时长为两个等级的人数和为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查共抽取学生人数为人，
∴，
故答案为：，；
∴等学生人数为人，
补全条形统计图如下：
（2）∵共抽取了名学生，
∴数据按照由小到大排列后，中位数为第和个数据的平均数，
∴中位数所在的等级是等，
故答案为：；
【分析】（）用等的人数和所占百分比可求出抽取的学生人数，再根据D所占的百分比可求得，然后可求出等学生人数，最后补全条形统计图；
（）根据中位数的定义结合条形统计图求解；
（）用分别乘以的占比，相加即可求解.
（1）解：本次调查共抽取学生人数为人，
∴，
故答案为：，；
∴等学生人数为人，
补全条形统计图如下：
（2）解：∵共抽取了名学生，
∴数据按照由小到大排列后，中位数为第和个数据的平均数，
∴中位数所在的等级是等，
故答案为：；
（3）解：，
答：估计他们在家平均每天做家务时长为两个等级的人数和为人．
21．【答案】（1）解：把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
此时或，
即不等式的解集为或；
（3）解：如图，当点为第一象限内的点时，如图，设射线与轴的交点为，过点作轴于点，，交轴于点，设，
过点作，交轴于点，则，
∴，，
，当时，，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴为的角平分线，
∴点到的距离相等，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵、，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
由，
解得，，
∴；
当点为第三象限内的点时，
∵，
∴
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∵、，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得，，
∴点的坐标；
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（）利用待定系数法求解；
（）根据的意义，结合图象求解；
（）分“点为第一象限内的点”、“点为第三象限内的点”两种情况，画出图形求解.
（1）解：把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可得，当或时，，
∴不等式的解集为或；
（3）解：如图，当点为第一象限内的点时，如图，设射线与轴的交点为，过点作轴于点，，交轴于点，设，则，，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∵，
∴为的角平分线，
∴点到的距离相等，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得，，
∴；
过点作，交轴于点，则，
∵，
∴
设，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得，，
∴点的坐标；
综上，点的坐标为或．
22．【答案】解：（1） 脸谱的长为，
脸谱的宽为
答：脸谱的长与宽分别为和；
（2），
，
∵，
∴
解得：；
（3）设被剪去的小正方形边长的最大值为，
可列不等式为，
∴，解：，
∵，
∴，
∴的最大值为4，
∴被剪去的小正方形边长的最大值为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；平均数及其计算；一元二次不等式
【解析】【分析】（1）根据平均数的计算方法求解；
（2）分别表示出PS和PQ，根据列方程求解；
（3）设被剪去的小正方形边长的最大值为，可得，结合二次函数的图象求解．
23．【答案】（1）解：线段与的数量关系是、位置关系是，
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
，，
，
，则；
（2）解：过点作，如图所示：
正方形的边长为4，
，且，
由（1）知，
在中，，，
点为的中点，
，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
∵在中，，，
∴，
，
，
，，
，
的周长为；
（3）解：连接，过作，如图所示：
，，
是线段的垂直平分线，则，
，即是等腰三角形，
，则由勾股定理可得，
过点作，延长，过作于，如图：
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
，
；，
．

【知识点】勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；正方形中的十字架模型
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