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育才高中高一数学5月月考试题
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知正四面体的表面积为，则它的体积为( )
A. B. C. D.
5.在中，，，其面积为，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知正三棱锥，，，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
7.如图，圆内接四边形中，，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
8.已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的虚部为
C. 在复平面内对应的点在第四象限
D. 的共轭复数为
10.已知圆锥的高为，母线长为，为顶点，，为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是( )
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥侧面展开图的圆心角大小为
C. 圆锥截面面积的最大值为
D. 若圆锥的顶点和底面圆周上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为
11.已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的有( )
A. 面积的最大值为
B.
C. 周长的最大值为
D. 的取值范围为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 ．
13.已知为所在平面内一点，且点满足，，则 ．
14.复数，满足，，则的最小值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共67分。
15.本小题分
已知向量，．
求向量与的夹角的大小；
若向量满足，求的值．
16.本小题分
已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，，是的中点．
求；
若，，，求的值．
17.本小题分
在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，．
要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？
求烧烤区占地面积的最大值．
18.本小题分
记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
若，求；
若，求．
19.本小题分
如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且．
求边的长度；
求的面积；
设点分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，，且，则．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：因为，则，
因此，复数的虚部为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设向量与向量的夹角为，因为，
所以向量在向量上的投影向量为，则，
所以
．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：设正四面体的棱长为，
则该正四面体的表面积为，可得，
将正四面体补成正方体，则该正方体为棱长为，
因此正四面体的体积为．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由题意知，，即，解得，
由余弦定理得，即，
由正弦定理为三角形外接圆半径，可得：
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：正三棱锥，，，则，即，
因此正三棱锥的侧棱两两垂直，
以线段为棱的正方体的外接球即为正三棱锥的外接球，
该球的直径为，半径，
所以该三棱锥的外接球的体积．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：在圆内接四边形中，，
所以是四边形外接圆的直径，所以，则，
延长，过作，垂足为；过作，垂足为，
则，所以三角形是等腰直角三角形，
所以，
由于，，所以四边形是矩形，，
在等腰直角三角形中，，
所以，
将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体是圆台挖掉一个圆锥，
其表面积为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，正弦定理及变形，逆用两角和与差的正弦公式，利用同角三角函数基本关系化简，属于中档题．
由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得．
【解答】
解：
因为，又，
所以，
又，所以，
所以，即，
显然，所以，
因为
，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又由余弦定理，
即，
所以，则，
由余弦定理得，
又，所以
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模长公式、复数的概念、复数的几何表示以及共轭复数的概念可得答案．
【详解】，
，故A不正确；
的虚部为，故B正确；
在复平面内对应的点在第四象限，故C正确；
的共轭复数为，故D错误．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径，体积，侧面展开图的弧长，轴截面面积，外接球体积，即可得出结论．
【详解】解：因为圆锥的高为，母线长为，
所以圆锥的底面半径为，高为，则：
对于，圆锥的体积，故A正确；
对于，设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，则，，故B正确；
对于，，因为截面的面积为：
，当时，
截面的面积最大，，故C错误；
对于，圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，即圆锥的外接球，
设圆锥外接球半径为，由球的性质可知：，
即，解得，
所以外接球的体积故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；选项，利用余弦定理计算可判断；选项，利用余弦定理和基本不等式求解周长的最大值；选项，用进行变换得到，结合的取值范围得到的取值范围．
【详解】解：对于，由余弦定理得：，解得：，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
所以，故，故A正确；
对于，，故B不正确；
对于，由余弦定理得：，解得：，
所以，当且仅当时，等号成立，
解得，当且仅当时，等号成立，
所以，周长，所以周长的最大值为，故C正确；
对于，，
因为，所以，
所以，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，
则，解得．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由，得，
则，
整理得，即，
解得，而，所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：设，则，由，得，
整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线，
由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，，
而表示在复平面内复数对应点的距离，
所以的最小值为．
故答案为：．
15.【答案】解：因为向量，，则，
因为，故；
因为向量满足，
所以，解得，所以，故．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：在中，由及正弦定理，得，
即，由余弦定理得，而，
所以；
在中，，所以，
由，得，
由是的中点，得，
由，得
，
所以．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：在中，米，，
由余弦定理可得
，
所以，，
当且仅当米时，等号成立，
所以，要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，米；
设米，则米，设，
在中，由余弦定理可得，
所以，，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，烧烤区面积的最大值为平方米．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：方法：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以．
方法：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以．
方法：在与中，由余弦定理得
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以．
方法：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以．
【解析】方法，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答．
方法，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法，利用向量运算律建立关系求出，再利用三角形面积公式求出即可求解作答．
19.【答案】解：，由正弦定理：，
由余弦定理：，，
因为为中点，所以，设的夹角为，
，
又，
，即，
解得或，又，所以，易得，
的面积为．
设，的面积为面积的一半，
设，则，又共线，所以设，则，
，解得：．
，又，
，又，化简得，又，则，
则时，的最小值为．
【解析】由正弦定理角化边，再用余弦定理化简，进而得到答案；
设的夹角为，通过，得到和，进而根据求出，最后求出面积；
设，，再根据向量的运算性质求出的表达式，进而通过函数交点求出最小值．
【点睛】本题第问用到了一个性质“平面向量三点共线定理”，在“”这一步如图，在平面中，，，三点共线的充要条件是：存在实数，使得，其中，点为平面内一点．
在“”这一步，“”分离常数是很常规的处理方式，注意归纳方法．

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